なぜ定積分で面積が求められるのか

なぜ定積分で面積が求められるのかを説明するとき、よく｢この部分をS(t)とすると｣などのような意味の文言を目にしますが、定積分で面積が求まるのは、面積が何かしらの関数で表せるということが前提の話ということでしょうか。面積は必ずしも何かしらの関数で表せるのですか？教科書や参考書の説明を見ても分からなかったので質問してみました。教えていただけたら幸いです。 ――追記 自分の悩んでいることをより具体的に申しますと、添付した画像の説明に、赤線で引いたところに｢S(t)とする｣と書いており、その部分(面積が関数で表せるということ)をうまく飲み込めたら、この説明全体も分かるのですが、納得できていないということです。ご回答よろしくお願いします。

Beat Pop さん、こんばんは。久しぶりですね！ 積分で面積を考える時は、座標平面上になにか曲線があって、「ｘが定数aから変数ｔまでの間の面積」を考えますよね。終点ｔが変化すれば面積は変わります。ｔをある値に定めれば（たとえばｂとか）面積は1つに決まります。だから面積は変化する終端の値ｔの関数ですよ。 あるいはこういうことかな？面積を作る曲線が直線とか放物線とか円とかじゃなくて、式にできないような変な曲線もあるじゃないか、ということですか？それなのに面積が関数になるのかということでしょうか？たとえ式にかけないような曲線であっても、座標平面上にそれを書けば、ｘに対応したｙの値が1つ決まるので、「式には表わせないけれど関数のグラフであることは確か」なのです。 あなたが疑問に思った面積っていうのがどういう場合のものかが具体的に書いてないので、この説明ではだめかもしれませんね。もう少し具体的な場合の質問の方がいいのですが…。 コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記： 画像を見ました。 ｘ軸とグラフと2直線ｘ＝aとｘ＝ｔとで囲まれる部分の面積ですね。 そして、ｔはここでは変数です。 ｔが３のときは「ｘ軸とグラフと2直線ｘ＝aとｘ＝３とで囲まれる部分の面積」は1つの値が決まります。 たとえばｔ＝３のときS=18とか。 ｔが４のときは「ｘ軸とグラフと2直線ｘ＝aとｘ＝４とで囲まれる部分の面積」は1つの値が決まります。 たとえばｔ＝４のときS=23とか。 　　…… という風に考えると、ｔの値によって面積が決まるということですね。 だから「ｘ軸とグラフと2直線ｘ＝aとｘ＝ｔとで囲まれる部分の面積」は「ｔが変化できることを考えれば」ｔの関数です。（ｘの関数ではないです） 面積をSだけで表わしてもいいのですが、ｔの関数であることをはっきりさせるためS(t)と表記します。 これでどうでしょうか？コメント欄に何か返事を書いてください。