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数列の性質（？）
回答
くさぼうぼうさん。お久しぶりです。さっそくご回答頂きどうも有難うございます。 ずっと考えているのですが、申し訳ありません。まだ大丈夫ではないです(^^;) ＞要は両辺を加工して f(n)an=f(n−1)an−1f(n)an=f(n−1)an−1…① の形に変形しようとしています。 ＞この形になれば f(n)an=bnf(n)an=bn と置けば bn=bn−1=bn−2=⋯=b1=f(1)a1bn=bn−1=bn−2=⋯=b1=f(1)a1 と＞なります。 ＞よって an=f(1)a1f(n)an=f(n)f(1)a1 という一般項がわかるという話でしょうか。 はい、ここはまったくその通りです。最終的にはAnの一般項を求めるのが目的です。 このテクニックには特に名前はついてないのでしょうか？ > 一般に(ak+p)an=(ak+q)an−1(ak+p)an=(ak+q)an−1 (p>q)のとき・・・・ この性質がどのようにして導かれるのかがわかりません。 ヒントを頂けると有難いのですが・・・。 （下記の部分、数式の制御文字がうまく変換されていないようなので、もう一度送って頂けますでしょうか？） p<qの時のテクはご存じですか？両辺をまず (ak+p)(ak+q)(ak+p)(ak+q) で割って $\dfrac{a_n}{ak+q}> =\dfrac{a_{n-1}{ak+p}$ としておいて、上と同じようなもので両辺を割るとうまくいきますよ。 すみませんがよろしくお願いします。
すみませんでした。私のミスで表記がおかしかったです。とりあえずそこは直しました。コメントに対する回答はちょっとあとになってしまいます。すみませんが、お待ちいただけますか？
上の回答に追記しました。読んでください。
さらに追記しましたよ。
返事が遅くなり申し訳ございません。 ご丁寧な説明と訂正の件、どうも有難うございます。 正直なところまだ理解が追いつきません（汗）。 何がわからないのか？今整理しています。整理ができたらまたコメントさせて頂きます。 すみませんがまたどうぞよろしくお願いします。
ごめんなさい、あなたの質問だけに答えればよかったのに、すこし一般的な話までしてしまいました。とりあえずｐとｑの差に着目して２とか４とかの時には「中間点」というのを使うとうまく変形できる原理が理解できればいいと思います。再質問、ご遠慮なく。お待ちしています。
それと、13:40の追記に書いた方法も大事ですので、そちらも身につけた方がいいかと思いますよ。「中間点」よりね。
遅くなりましたが、ようやく大丈夫になりました。かなり悩みましたが。 勝手かもしれませんが、また思い出せるようご教示頂いた内容を自分なりに まとめてみました。言葉にするのが本当にまどろっこしくストレスでした・・。
(ak+p)Ak = (ak+q)Ak-1........① 「pとqの差がaの倍数である」を数式で表すと p-q = ma (p>q, mは0以上の整数） ⇔ q = p-ma........② 例えば a=2, p=1, m=4と定めて、mを0から1, 2, 3, 4(=m) まで増やしていくと ak+(p-ma)は 2k+{1-(0*2)}, 2k+{1-(1*2)}, 2k+{1-(2*2)}, 2k+{1-(3*2)}, 2k+{1-(4*2)} ⇔ 2k+(1-0), 2k+(1-2), 2k+(1-4), 2k+(1-6), 2k+(1-8) ⇔ 2k+1, 2k-1, 2k-3, 2k-5, 2k-7、と変化していく。 (定数項が1(=p) から 2ずつ減っていき最後に-7(=q)※になる。) ※ ②よりq = p-ma = 1-4*2 = -7 左端の項 2k+1 は①の式の（ak+p) の部分にあたる。(a=2, p=1, m=4と定め、m=0のとき、2k+1となる） 右端の項 2k-7 は①の式の (ak+q) の部分にあたる。(a=2, p=1, m=4と定め、m=4のとき、2k-7となる） ①の式 (ak + p)An = (ak + q)An-1 にあてはめて考えると （An, An-1は一旦無視して考える） (ak + p)の 定数項 p が a ずつ減って 最後に(ak + q) になる数列が (m + 1)個つくられる。 （もともとあった ak+p, ak+qを含めて） m = 4の場合 m = 0 → 4 で、ak+(p-0*p), ak+(p-1*a), ak+(p-2*a), ak+(p-3*a), ak+(p-4*a) →合計(m + 1)個
ここでこの(m + 1)個の数列 (m = 0 → 4 ) 2k+1, 2k-1, 2k-3, 2k-5, 2k-7 の m = 0 → 3までの４つの項と m = 1 → 4までの４つの項を 順番に比較していくと (m = 0 → 3) 2k+1, 2k-1, 2k-3, 2k-5 (m = 1 → 4) 2k-1, 2k-3, 2k-5, 2k-7 m = 1 → 4 の各定数項に 2 を足していくと m = 0 → 3 の各定数項に等しくなる。 と言う事は、m = 0 → 3 の各定数項から逆に2を減らしていくと m = 1 → 3 の項に等しくなるはずなので、 m = 0 → 3 の各項の k を k-1 にする（ ⇔ 2を引く）と、 (m = 0 → 3) 2(k-1)+1, 2(k-1)-1, 2(k-1)-3, 2(k-1)-5 ⇔ (m = 0 → 3) 2k-1, 2k-3, 2k-5, 2k-7 (m = 1 → 4) 2k-1, 2k-3, 2k-5, 2k-7 となり各項が同じ値になる ここで m = 0 → 3 の数列を Bn とおくと m = 1 → 4 の数列は Bn-1 となる この性質を ①の式 (ak+p)Ak = (ak+q)Ak-1 に利用する。 a = 2, p = 1, m = 4 とする（→ q = -7になる。）と、 ak+p にあたるのが 2k+1 (m = 0のとき) , ak+q にあたるのが 2k -7 (m = 4のとき)なので m = 1 → 3 までの各項を両辺に掛けると (2k+1)(2k-1)(2k-3)(2k-5)Ak = (2k-1)(2k-3)(2k-5)(2k-7)Ak-1 となり 左辺の(2k+1)(2k-1)(2k-3)(2k-5)Ak = Bk とおくと Bk = Bk-1 となる。 Bk は 公比 1 の等比数列と見ることができるので Bk = B1 * 1^k-1 ⇔ Bk = B1 がいえる。
ああ、我ながら回りくどい（汗） ＞それと、13:40の追記に書いた方法も大事ですので、そちらも身につけた方がいいかと思いますよ。「中間点」よりね。 ああ、そういう方法もあるのですね。こっちの方が覚えやすいし、しっくり来ます！ 「中間点」というのは、たまたまそうなっただけなんですね！ どうも有難うございます！
力作を拝見しました。入力大変だったでしょう！そうやってご自分でまとめて確認するというのは素晴らしいことです。最後は公比１の等比数列でも公差０の等差数列でもいいですが、もっと単純に「番号が変わっても値は変わらない。じゃbnは定数っていうことだ！」でいいと思います。
コメントどうもありがとうございます。かなり悩んだので何か残したくて頑張りました！ というものの、読み返してみると間違っているところが2か所ほど（汗）。 参考書等でこういう間違いがあると非常にツライので訂正したいのですができるのでしょうか？ ＞もっと単純に「番号が変わっても値は変わらない。じゃbnは定数っていうことだ！」でいいと思います。 了解です！ 変わらない数列ってなんかヘンな感じですね。
コメント欄の訂正はできないみたいですね。私はこのサイトの製作者ではないので、あしからず。 数が１列に並んでいるものが数列ですから、同じものがズラ〜と並んでいてもいいのです。気持ち悪いけどね！ じゃ、またどうぞ。
了解しました。 どうも有難うございました。 またよろしくお願いします！