極値を持つための条件

例題177について質問させていただきます。 まず⑴についてです。解答の6行目、 ゆえにf'(x)の符号はx=1の前後で正から負に変わり、f(x)は極大値1を取る。 と書いてありますが、なぜそうなるのかが分かりません。と言いますのも、a=5を求め、その値をf'(x)の式に代入し f'(x)=-(x+3)(x-1)/(x^2+2x+5)^2 を求める所まではできたのですが、なぜその情報でf'(x)の符号の変化を読みとることができるのか理解できません。a=5を代入したf'(x)についてもう一度f'(x)=0となるxの値を求め、増減表を書いてx=1で極大または極小であることを証明する必要があるのかなと思ったのですが、その過程が書かれておらずそれが何故なのか疑問に思っております。 長々と申し訳ないですが回答していただけるとありがたいです。

千 婆 さん、こんにちは。 f'(x)の分母は常に正（０になることもない）です。ですからf'(x)の符号には影響を及ぼしません。 となると、分子と前についてるマイナスがf'(x)の符号を決めます。 $(x+3)(x-1)>0$ のような2次不等式を考えるつもりで行けばいいのです。 $y=(x+3)(x-1)$ のグラフを考えて…あとはいいですか？ －３と１の間はｘ軸より下。だから負。だからf'(x)の符号は正！ ｘ＝１の手前では正だということです。 －３と１の外側ではグラフはⅹ軸より上。だから正。だからf'(x)の符号は負！ １を境にf'(x)の符号は正から負に変わります。 答案を書く際は、以上のことを頭で考えてf(x)の増減表をちゃんと書くべきです。ｆ’の欄の符号だけが問題ですので簡単に書けばいいです。 これで大丈夫ですか？これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。会話型を目指しています！