2平方数定理の組み合わせ論的証明(1)

正の整数nに対し、 A(n)＝｛(a1^f1,a2^f2) | a1,a2,f1,f2∈Z,a1>a2>0,f1>0,f2>0,a1f1＋a2f2＝n｝なる集合を考える。 また、π＝(a1^f1,a2^f2)∈A(n)に対し、 C(π)＝((f1＋f2)^a2,f1^(a1-a2))とおく。 π∈A(n)とするとき次を示せ ①C(π)∈A(n) ②C(C(π))＝π という問題をお願いしたいです。 例えば、 n＝3のとき A(3)＝｛(2^1,1^1)｝ C((2^1,1^1))＝((1+1)^1,1^(2-1)＝(2^1,1^1) n＝4のとき A(4)＝｛(3^1,1^1),(2^1,1^2)｝ C((3^1,1^1))＝((1+1)^1,1^(3-1))＝(2^1,1^2) C((2^1,1^2))＝同様にして＝(3^1,1^1) というような感じです。 私はA(n)とC(π)の関係性について、ヤング図形を用いて考えました。添付画像のように、点線で図形をひっくり返してA(n)↔︎C(π)を表しています。図形で考えると、Cを二回適用すれば元に戻ることは容易にわかるのですが、代数的に式で示したいです。 C(π)＝(b1,b2)とすると、 b1＝(f1＋f2)^a2 b2＝f1^(a1-a2)なので C(b1,b2) ＝((b1＋b2)^a2,b1^(a1-a2) ＝((f1＋f2)^a2＋f1^(a1-a2))^a2,(((f1＋f2)^a2)^(a1-a2)) ここまでは出来たのですが、ここからπの形に持っていける気がしません…間違っているのでしょうか また、①に関しては方針立ってません。 よろしくお願いいたします。

ああ さん、こんにちは。 私には何の分野に関する問題なのかさっぱりわかりません。毎回難しい質問ですね。あなたはどういったお立場でどのような分野を勉強中なのでしょうか。知りたいですねぇ。 さて、代数的にというので… ①　$C(\pi)=\left((f_1+f_2)^{a_2},f_1^{a_1-a_2}\right)$ で、 $f_1+f_2=p_1,a_2=g_1,f_1=p_2,a_1-a_2=g_2$ …①とおけば $C(\pi)=(p_1^{g_1},p_2^{g_2})$ と書けます。 はじめの４数の大小関係や自然数であることから $p_1,p_2,g_1,g_2$ は自然数、$p_1>p_2$ はあきらか。 また $p_1g_1+p_2g_2=(f_1+f_2)a_2+f_1(a_1-a_2)=a_1f_1+a_2f_2=n$ よって$C(\pi)$∊$A(n)$ ②代数的にというのならC(C(π))を計算しちゃえばいいのでは…。大した手間ではありません。 $C\left(C(\pi)\right)=C\left((p_1^{g_1},p_2^{g_2})\right)$ $=\left((g_1+g_2)^{p_2},g_1^{p_1-p_2}\right)$ ①より、$g_1+g_2=a_1,p_2=f_1,g_1=a_2,p_1-p_2=f_2$ だから $=\left(a_1^{f_1},a_2^{f_2}\right)=\pi$ ただ計算しただけです。あなたの書いたものも間違いではないけれど、置き換えでもしないと煩雑で大変そうです。 これで大丈夫ですか？コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。