二次曲線

（2）の解答の五行目について、 ②の式は直線とCの交点(x.y)についての式なので、二つの交点の中点を(x.y)としている(2)で用いるのはおかしいと思いました。この部分はどういう意味なのでしょうか。 それとこの解答ではx＝my+2としていますが、 y＝m(x-2)とした解答を教えていただいたいです。

たける さん、こんばんは。ちょっと久しぶりかな。 (i)　交点の中点の座標を新たに文字で置いただけなので、②とは特に関係はないのです。たしかに誤解をされそうですね。混乱しそうなら違う文字にしておけばいいです。例えば（X，Y)と大文字にしておいて、最後にX，Yの関係式が得られたところで、大文字を小文字にすれば双曲線の方程式になるのです。 (ii) $y=m(x-2)$ である程度やってみましたか？特に困ることは起きません。同じようなやり方でもとまります。最後にｍを消去するとき、ｍ²でないと代入しにくいので、 $y=m(x-2)$ を2乗して $y^2=m^2(x-2)^2$ にしてからｍ²やｘを代入します。途中、いくつか注意するところがあります。 まず、 $y=m(x-2)$ はAを通る直線のすべてが表されるわけではありません。ですから、直線はその式に加えて $x=2$ の場合を別に調べますよ。また中点の座標を（X，Y)と置いたとき、X=（ｍ²の式）からX≠２もちゃんと考えてください。 私が（２）の解答を全部書いてもあなたの力にはならないので、ここまで方針のみにします。これでご自分でやってみて行き詰まったら、そこまでのノートを写真でアップしてください。アドバイスを書きますので。 これで大丈夫ですか？以前のようにコメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　2024/10/04　10:00～ コメント拝見。(ii)について書き加えます。 あなたは(2,0)を通る直線をy=m(x-2)で始めていますから、この式では表せない直線が1本あるので、それ(直線ｘ＝２）をまず別扱いしなければなりません。 （１）の答案の冒頭で「(2,0)を通る直線はx=2またはy=m(x-2)と表せる。」と書き始めなくてはなりません。 「直線がｘ＝２のときは2点で交わるから不適。よって以下y=m(x-2)を考える。」となっていきます。 （２）では「直線がx=2のとき、2交点の中点は(2,0)である。（影の声：この点は軌跡の一部だから、あとで求まる双曲線に乗っていることを示します）」が付け加わります。そのあと「y=m(x-2)のとき」と書いて続きます。 あなたの答案の(i)X=2のとき不適ということから、これから求める中点には(2,0)は入らないぞということが分かりました（実は冒頭で(2,0)は軌跡の一部であることが分かってますので、この穴は埋まりますが）。 あとはｍを消去してX,Yの関係式にすればいいのですよね。私のやり方はあなたのとは違います。X=の式からｍ²＝に変形します。で、Y²＝ｍ²(x-2)²にしておいてそこのｍ²に代入すると自然にこたえの双曲線になるのですが。あなたのやり方（Y=の方からｍ＝にしてX=の式に代入）だとなぜ行き詰まるのかはい今から検討してみますが。 これであなたの(ii)からは(x-1)²－Y²＝１（X≠２）が求まり、初めの（２，０）を加えて、中点は(x-1)²－Y²＝１という双曲線の上にあることが示せました。 あなたのではなぜ行き詰まるのか考えてみますので、もうしばらくお待ちくださいね。 とりあえず、ここまでは大丈夫でしょうか？ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　2024/10/04　11:45～ 上の続きです。 あなたのやり方でも同じ結果が得られましたよ！！ ちょっと嫌な式だったので計算しないうちに止まっていましたが、計算してみました。 $X\{(X-2)^2-Y^2\}=-2Y^2$ Xについては3次、Yについては2次なので、Yについて整理 $(X-2)Y^2-X^3+4X^2-4X$ $(X-2)Y^2-X(X^2-4X+4)=0$ $(X-2)Y^2-X(X-2)^2=0$ $(X-2)\{Y^2-X(X-2)\}=0$ ここでX≠２だから $Y^2-X(X-2)=0$ $Y^2-(X-1)^2+1=0$ $(X-1)^2-Y^2=1$ ただし(X,Y)≠(2,0) というわけで、大丈夫でした。 これでどうでしょうか？ さらに疑問点が残ればコメント欄に書いてくださいね。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　14:45～ あなたのおっしゃる通り、5行目はおかしいようですね。解答者の勘違いでしょうか。 そもそも（２）では初めからx=my+2を使っていて、その式では表せない唯一の直線ｙ＝０を除外して議論していますね。 だから（２）の冒頭で「直線がx=my+2と書けるとき」と書くべきです。そのように書けない直線(直線ｙ＝０）については別に書かなくてはなりません。そうしておけば中点もⅹ軸上にはありえず、5行目は不要で単に「ｙ≠０だから」ですみます。 直線がｙ＝０の場合については最後の下から２行にあります。 あなたの疑問点をこちらが誤解して、読みが足りませんでした。失礼しました。 「解答はおかしいぞ」という結論でいいかと思います。 これでどうでしょうか？まだ疑問に答えられてないかな？コメント欄に書いてくださいね。