数列 格子点の個数の問題について

初手に書いてある方針のn=1のとき1+3=4…の時点で訳が分からなくて躓いています。まずこの式がどうやって出てきたもから分からないです。具体的な質問じゃなくてて申し訳ないのですが、本当にここから分からないので解説していただきたいです。

わんこ わんわん さん、こんにちは。もう「おはようございます」ではなくなってしまいましたね。 さて、この解答は冒頭にもあるように「グラフを書いて、見通しを立てる」やりかたですから、グラフ上の格子点の増え方を観察していきます。ただ、＜指針＞と解答では考えが違うみたいで、関連がないみたい。 （１）では模範解答では（長方形の中の格子点の数）－（直線上の格子点の数）を２で割れば直線より下の格子点の数が求められ、それに直線上の格子点の数を足せば目的のものが得られる、という考えです。直線上の格子点の扱いに気をつけなければなりませんね。そこがやりにくいところ。 別な考え方ですが（これが＜指針＞にあるやつです）……傾きが1/2の直線ですから、グラフがｙ軸方向に１だけあがると、ⅹ軸上の格子点が２個増えることが分かります。ｎ＝１，２，３…で増える格子点はⅹ軸上の個数です。こんな規則に気が付けば、求める個数は１から始まる奇数をｎ+1個足すだけで求まりますね。 個数＝$\sum_{k=0}{n}(2k+1)=n(n+1)+(n+1)=(n+1)^2$ (2)はいいですか？これもグラフの図を頼りに、長方形から引くべき個数が平方数の和になっているという規則を発見して、あとは（長方形の中の個数）ー（平方数の和）で求まりますね。解答はやはり指針とはちょっとずれているようですが。解答では縦の１列ごとに式を作って足しているみたいですが、（長方形の中の個数）ー（平方数の和）のほうが楽だと思います。 個数＝$n(n^2+1)-\sum_{k=1}^n k^2$ を計算すれば答が求まりますよ。 ま、どちらのやり方でもいいけど。これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとかコメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。