漸化式の問題について

右下の添え字を[n]で表します。 a[n+1]-a[n]=b[n]とおくとb[n+1]=3b[n]+4とあるのですが、a[n+2]-a[n+1]がb[n+1]になるのはなぜですか？a[n+2]-a[n+1]もa[n+1]-a[n]=b[n]と同じ形に見えてb[n]になるのでは？と思ってしまいます。

わんこ わんわん さん、それは無理ですよ。 $a_{n+2}-a_{n+1}$ は$a_{n+1}-a_n$ の番号を１つ増やした形ですね。 $a_{n+1}-a_n$ を $b_n$ と置いたのですから、$a_{n+2}-a_{n+1}$ は番号が１つ上がって $b_{n+1}$ ですよ。 形が同じで番号が１つ上がっているのです。 これで大丈夫ですか？説明不足かな？コメント欄に何か返事を書いてください。 ================================= 追記 コメント拝見。 たとえば $a_n=n^2$ という数列で示してみますね。 $a_{n+2}-a_{n+1}=(n+2)^2-(n+1)^2=2n+3$ $a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2=2n+1$ なので$a_{n+2}-a_{n+1}$と$a_{n+1}-a_n$は異なります。 $a_{n+1}-a_n=b_n$ と置けば、$b_n=2n+1$ という数列になります。このとき $a_{n+2}-a_{n+1}=2n+3=2(n+1)+1$ となるので、これは $b_n$ のｎのかわりにn+1を使った形なので、これは数列｛$b_n$｝の第(n+1)項 $b_{n+1}$ のことですよ。 これで大丈夫ですか？ ==================追記 あ、この場合で言えば、$a_{n+1}-a_n$ は階差数列の第ｎ項を表していますし、$a_{n+2}-a_{n+1}$は階差数列の第(n+1)項を表しているじゃないですか。数列 $b_n$ は階差数列です。