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数列
またよろしくお願いいたします。
下記右側にある説明、「bn = x^2, bn-1=x, bn-2=1とおくと・・」
がどのように①と②の式につながるのかわかりません。
どうぞよろしくお願いいたします。
回答
1 X さん、おはようございます。
数列の漸化式には、特性方程式と言う便利な道具があるのはご存じですか？
２項間漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ に対して $x=px+q$ が特性方程式です。
この解を用いると等比数列に持ち込めました。
元の漸化式を変形して $a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)$ にすることができたら$a_n-\alpha$ という数列は等比数列になって簡単に解けるのだがなぁ！というのがそもそもの発想です。
３項間漸化式 $a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$ に対して $x^2=px+q$ が特性方程式です。
この解を用いると等比数列に持ち込めました。これも、元の方程式を変形して$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta\left(a_{n+1}-\alpha a_n\right)$ にすることができれば等比数列の形になって便利なのになぁ、という考えからです。
これらについては https://mathsuke.jp/characteristic-equation-recurrence/ に解説があります。
https://mathsuke.jp/characteristic-equation-recurrence/
これを読んで、質問したいところがあればコメント欄に書いてくださいね。
自分で書くのは相当大変なので、サイトを紹介しました。
コメント欄に何か返事を書いてください。
おはようございます。くさぼうぼうさん。 またさっそくのご回答どうも有難うございます。 ああ、特性方程式をつかっているのですね。 どうりで意味不明な式変形に見えたわけですね。 一言説明に入れてくれればいいのに。めっちゃ悩みました！ わかる人にはわかるんでしょうけどねえ・・(´；ω；`)ｳｩｩ。 でも、おかげでスッキリしました！ An+1 = pAn + q の形の問題で特性方程式をつかったことが あるので大体どんなものかわかります。 教えて頂いたサイトも利用して理解できるように してみます。また何かわからなかったら質問させて頂きます。 どうも有難うございました！
特性方程式は便利です。ぜひ使いこなしてくださいね。またどうぞ。