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数学オリンピック
写真に添付している問題がわかりません。
解説を見ると写真のように書いてありましたが、
5でi回以上、2でi+1回以上割り切れるもの…①、つまり(2^(i+1))*5^i=2*10^iと書いてあるところがなぜ、こうなるのかがわかりません。
これだと以上ではなくただ5でi回2でi+1回割り切れるものの個数…②であり、
それを、2でも5でもi+1回以上割り切れるもの、つまり(2^(i+1))*(5^(i+1))=10^(i+1) (これもこの式だとi+1回ではないのか？)
①-②が題意を満たす数の個数になるのかがわかりません
回答
コメントで回答してしまいましたすみません🙇♂️
例えば具体にi=1とすれば ①2^(i+1)×5^i=2×2×5=20 ②2^(i+1)×5^(i+1)=2×2×5×5=100 となります。 ここで①の20で割り切れる自然数の集合は、20,40,60,80,100…となるわけですが、例えば40は2×2×2×5ですし、100は2×2×5×5です。 つまり①の集合には2×2×5を素因数としてもつ(つまり2を2つ以上、5を1つ以上もつ)数がすべて含まれます。 同様に、②の100で割り切れる自然数の集合は100,200,300…となり、100は2×2×5×5、200は2×2×2×5×5、のように、素因数として2×2×5×5をもつ(つまり2を2つ以上、5を2つ以上もつ)数全体の集合となります。 そこで①-②をすると 素因数として2×2×…×2×5をもつ(2を2つ以上、5を1つだけもつ)数全体となります。 この操作をi=0,1,2のそれぞれで行うと答えが得られるということですね。 数学的に怪しい表現が多くてすみません。間違いなどがございましたらご指摘ください。
わかりやすい説明ありがとうございました！。 数オリ頑張ります！