曲面の面積　積分(多重積分ではありません)

添付しました問題(1つ目の画像)の、解答の青線部(3つ目の画像)まではわかるのですが、以降がわかりません。何がわからないかといいますと、添付しました式(4つ目の画像)はなぜ成り立たないのかが、わかりません。赤色蛍光ペンの部分(3つ目の画像)も読んだのですが、ピンとこないので、よろしくお願いします。

岡本 真悠希 さん、こんばんは。久しぶりですね！ ヘタな図を書きましたので、見ながら考えてくださいね。 求める面積の半分を図にしました。S/2を求めましょう。 区分求積法は大丈夫ですか？赤い小さな長方形の面積を足していって全体の面積を求めます。長方形の縦はZ(t)です。しかし横の長さはΔｔではありません。(2,0,0)から計った円弧の長さを $l(t)$ とすると、横の長さは $\varDelta l$ です。ですから小さい長方形の面積は$Z(t)\varDelta l$ が正しいです。 よって $\int_0^{2\pi}z(t)dt$ ではなく $\int_0^{2\pi}z(t)dl$ が正しい。ここで$l(t)=at$ なので $dl=adt$ 。 よって$\dfrac{S}{2}=\int_0^{2\pi}z(t)dl=\int_0^{2\pi}z(t)adt$ で計算できますよ。 グラフを積分して面積を求めようと考える時は、ちゃんと面積を表すようなグラフにしなければなりません。横軸がｔのグラフは、単にｔに対するｚの値を示すだけで、実際の面積は横軸が $l(t)$ 出なければいけません。 そんなことを頭に入れながら、もう一度解説を読んでみてください。 そのあと、残った疑問をコメント欄で質問してください。 待ってます！