微積

yu na (id: 3598) （2024年10月14日18:40）

こんにちは。途中まで解いたのですが（1）の（ii）が計算しても合いません… （2）の（iii）についても解き方を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答

くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年10月14日21:48）

yu na さん、こんばんは。とりあえず、（１）の(ii)は、あなたの答案の写真の１枚目の下から２行目がおかしいです。 $-\dfrac{\pi}{2}\leqq x \leqq\dfrac{\pi}{2}$ より $-\dfrac{3}{4}\pi\leqq 2x+\dfrac{\pi}{4}\leqq \dfrac{5}{4}\pi$ なので、下から２行目は　$ 2x+\dfrac{\pi}{4}=0,\pi$ よって $x=-\dfrac{\pi}{8},\dfrac{3}{8}\pi$ ですね。これで増減表を書き直してみてください。（２）(iii)はちょっと待ってください。スマン！いまのところ分かったことは定積分の被積分関数のグラフは折れ線で、折り目は $t=\tan x$ のところ。折り目がー１より小さい（$\tan x < -1)(-\dfrac{\pi}{2}<x<-\dfrac{\pi}{4}$) ときは $g(x)=-f(x)$ らしい。折り目がー１と３の間の時は定積分を２つに別けて、－１から$\tan x$ までと$\tan x$ から３までに分けて計算。折り目が３より大きい($3<\tan x)(\theta < x<\dfrac{\pi}{2})$ ときは $g(x)=f(x)$ らしい。まだ自信はない！以下、明日。ゴメン！何かわかったら、コメント欄に書いておいてください。オヤスミ。

yu na (id: 3598) （2024年10月15日7:46）

ありがとうございます！（1）は再度解き直してみます！定義域が間違ってましたね、、、

くこ (id: 3416) （2024年10月15日23:58）

この計算が最短であるのか、またそれ以前に正しいのかどうかも怪しいですが…。ご質問、ご指摘、お気軽にお願いします。

yu na (id: 3598) （2024年10月16日6:57）

おはようございます。ご丁寧にありがとうございます！今日仕事終わりに解いてみます！！

yu na (id: 3598) （2024年10月16日14:57）

②の最後ですが、 g(x)が最大になるのはsin(2x+α)=1というのはなぜでしょうか？ ②の合成までは理解しました。 2x+π/2<2x+α<2x+π の定義域で考える、、、？

くこ (id: 3416) （2024年10月16日19:30）

実数θに対して -1≦sinθ≦1より -√5+3≦√5sinθ+3≦√5+3となるので最大値をとるのはsinθ=1のときとなります。ここで気をつけなければならないのは、θの定義域にπ/2が含まれているかということです。θがπ/2の値をとれなければsinθ=1とならないからです。この問題でいうと、変数xに定義域(場合分けにおいて自ら設定したもの)があるので、2x+α=π/2となるようなxが定義域に含まれているかどうかのチェックをしました。 2x+π/2<2x+α<2x+π の定義域で考える、、、？ >>> この式はあまり意味を成さないかと思います…！αはあくまでもπ/2<α<πを満たす定数です。証明を必要としないマーク形式ですので、テキトーに100°などとあたりをつけて解く方が効率的かもしれません…！

yu na (id: 3598) （2024年10月16日23:00）

②最後の tanα/2=、、、の式変形はどの公式を使って行っていますか？

くこ (id: 3416) （2024年10月17日7:21）

①tanα/2 =sinα/2 / cosα/2 =2(sinα/2)(cosα/2) / 2(cosα/2)^2 =sinα / (1+cosα) ②(tanα/2)^2 = (sinα/2)^2 / (cosα/2)^2 =(1-cosα) / (1+cosα) 楽なので①を使いましたが、②の方が導出も自然なので一般的だと思います。 ②でも同様の結果が得られます。 (2乗を外すとき、π/4<α/2<π/2であることからtanα/2>0であることに注意) 私も①は忘れていたので調べてから使ってしまいました…笑

yu na (id: 3598) （2024年10月18日17:38）

解けましたー！！！丁寧にありがとうございました！！

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