座標を利用した証明の問題について

オレンジのマーカーの部分についてなんですけど、勝手にA(3a,3b),B(-c,0)C(c,0)と置いても大丈夫なんですか？

わんこ わんわん さん、 はい、大丈夫なんです。文字で置いて、それが任意の実数を表せるのならどう老いたって大丈夫です。 座標を利用するのですから、図形を座標平面に置かなくてはなりませんが、中点を原点に置けば計算が楽なことが多いです。 別な置き方としては、重心を原点に持ってくるという置き方もよくありますよ。 また点Aの座標を $(123a,432b)$ と置いたって、$(\dfrac{a}{3},\dfrac{b}{567})$ でも大丈夫です。しかしまさかそのように置くことでなにかいいことがありそうではないので置きませんがね。 この問題では重心が出てきてAの座標の1/3が出てくるから、初めに $A(3a,3b)$ と置いておけば、計算途中で分数がなくて楽ですね。というより、解答者はまず重心の座標を $(a,b)$ と考えて、そこからAの座標を表わしなのかもね。いずれにしてもこのような置き方は慣れている人向けなので、慣れていない人は普通に $A(a,b)$ として証明すればいいのです。 $A(3a,3b)$ と 置くのは、まぁテクニックというものでしょう。中点がらみでは $(2a,2b)$ なんていう置き方も便利な時があります。 これで大丈夫ですか？ 一度、重心を原点においてやってみてください。$A(a,d),B(b,e),C(c,f)$ として、$\dfrac{a+b+c}{3}=0,\dfrac{d+e+f}{3}=0$ よりCの座標を $C(-a-b,-d-e)$ と表せ、あとは証明すべき式の左辺右辺を計算すれば自然に等式が成り立つことが分かりますよ。