和積の公式と三角関数の合成の違い

和積の公式と三角関数の合成は本質的に何が違うのですか？ どちらかが、どちらかの特別な場合だという説明はできるのでしょうか？ それとも全くもって無関係でしょうか？ どちらも根底にあるのは加法定理ですよね。そうなると何か同じもののような感覚に陥ってしまいます。

和積の公式も合成の公式も、その根拠はすべて加法定理です。 本質的に違いはありませんが、使う場面が多いので、それぞれ公式としてまとめただけです。 しかし、加法定理を含め、三角関数の性質や定理、公式などの中味は、すべて三角関数の定義から導かれるものですから、三角比、三角関数に出てくる定理も公式も、根っこは定義ですので「何か同じもののような感覚」はしますよね。 しかし、そう言っては身も蓋もありません！ 学習者が使いやすいように使途に応じて名前を付けて公式化していますよ。