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大学入試
添付している問題の解き方を教えてください。
よろしくお願いします！
回答
yu na さん、こんばんは。
（１）のみ。
$x^2+2bx+c=0$ なら、
合同式で$x^2+2bx+c\equiv 0$ (mod15)
$b\equiv 3,c\equiv 9$ だから
$x^2+2\cdot 3x+9\equiv 0$ (mod15)
$(x+3)^2\equiv 0$ (mod15)
$x+3\equiv 0$ (mod15)
$x\equiv -3 \equiv 12$ (mod15)
よって解ｘを15で割ると余りは１２。
（２）
2次方程式は$9x^2+bx+c=0$ で、重解を持つなら解は
$x=-\dfrac{b}{18}$ 。最大のｘになるのは最小の自然数ｂのとき。
また判別式＝０だから$b^2-36c=0$。
ｂが最小になるのはｃが最小のとき。
$b^2=36c$ を満たすようなｃは平方数で、15で割ると９余る最小の自然数は…ｃ＝９だ！
このときｂ²=36×９よりｂ＝１８。
よって最大の解は $x=-\dfrac{18}{18}=-1$
やっとできました。これで大丈夫ですか？
（追記: 2024年10月24日21:31）
あ、ごめんなさい！（２）の前半の解答を書き忘れていました！
（２）前半の追加です。
$ax^2+bx+c=0$ が重解を持つとき $b^2-4ac=0$ より、
$b^2-4ac\equiv 0$(mod 15)
$3^2-4a\cdot 9\equiv 0$(mod15)
$36a\equiv 9$(mod15)
$4a\equiv 1$(mod15)
つまり、4aは15で割ると1余る数です。
あとは調べます。
4a＝4,8,12,16,20,24,28,32,36,40…
１６と３６が当てはまるので、最小のaは４、2番のaは９です。
よってA=9。
だから後半の2次方程式は $9x^2+bx+c=0$ となります。
失礼しました！
これで大丈夫ですか？
modの問題でしたか、、、 mod再度勉強し直して 解いてみます！
もうちょっと進みました。書き加えました。
いちおう完成したので、あとで読んでみてください。
遅くなりすみません！ (1)できました！ありがとうございます！ (2)の1行目はなぜ 9x^2+bx+c＝0となるのでしょうか？
あ、ごめんなさい！一部書き忘れていました。追記したので読んでください。
15で割ると余り1になる4aは小さい値から順に 4a＝16、4a＝76になりませんか？ 36は15で割ると余りが6になりませんか…？？？？
まったくねぇ。ひどい回答者ですね。なんで３６≡１なんて勘違いしたんだろう？ちょっと待ってくださいね。
あ、一番悪い間違いをしていました！36a≡９の両辺を９で割ってはいけません！！９と１５は互いに素でないものね。ですから、36a≡９まで変形したら、（2番目を見つけるのですから）やっつけ仕事で行きます。そうするとa=４のとき、次にa=９の時が≡9(mod15)になります。よってA=9でした。まことに申し訳ない！ これで大丈夫ですか？
何度もすみません、、、 ｃは平方数で、15で割ると９余る最小の自然数 の部分ですが、c=9になるのでしょうか…？？
う～ん、なりませんか？９＝３²、９÷１５＝０…９です。
0余り9ということですか、、、！ 理解しました！ 最後まで辿り着けました、、、 ありがとうございました！！
何度も間違えてすみませんでした。ご指摘ありがとうございました。