背景がわからない

放物線と放物線の距離の最小値が、法線が一致する場合なのは、なんとなく感覚的にはわかるのですが理由は分かりません。証明可能ですか？

ぱ ん さん、こんにちは。 原理的にはできますが、実際にこの問題について示すのは至難です。 P(p,p²)を固定して、Q(x,-x²-16x-65）を動点とします。 PQ²をｘの関数として得て微分し、増減を調べ、最小になるⅹをｐの式として求めます。 その時の最小値はｐの関数になっていますから、今度はその式をｐで微分し、増減を調べて最小になるｐを求めるということです。PQ²をｘで微分すれば3次式になり、必ず実数解を持つのですが、ｐの煩雑な式になりそうで実行不可能です。 違う問題での計算例は以下のURLにありました。これはなんとか計算が可能な例です。 chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/http://www17.plala.or.jp/mi_kana/story/distanceofgraphs.pdf いつでもできるとは思えません。 しかし、放物線上の点Pで、１定点Aとの距離が最小になる点は、Pでの法線がAを通るときであることは（これもある意味感覚的ですが）示せますので、それを2回使えば説明はつきます。 法線が放物線β上の点Aを通るような放物線α上の点をPとし、その近くの放物線β上の点をQとします。 Pにおける接線とAQとの交点をRとすれば△APRは直角三角形。ARが斜辺だからAR>AP。 またAQ>ARだからAQ>AP。よって放物線β上の点Aとの距離が最小であるような放物線α上の点はP。 今度は2つの放物線αとβの立場を入れ替えれば同じことが言えて、けっきょく法線が共通するような2点間の距離が最小であるといえます。 これでどうですか？