極限の問題について

a^n-b^n/a-b=a^n-1+a^n-2b+•••+ab^n-2+b^n-1}n項になる理由がわかりません！

わんこ わんわん さん、こんばんは。 これは因数分解の公式として知っておいた方がいいものです。 $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}+b^n$…① たとえば $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ $a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$ あ、４乗の場合はさらに分解できますがとりあえずこのように因数分解できます。 こう考えてもいいっです。$f(x)=x^n-a^n$ という関数で $f(a)=0$ ですから、$f(x)$ は因数定理により $(x-a)$ という因数を持つはずです。 商は実際に割ってみれば分かりますが、aの降べき、ｂの昇べきになった項が続きますよ。 これを知っていれば、①の両辺を(a-b)で割るとその式になります。 別な考えでは、右辺を等比数列と見ます。 初項が$a^{n-1}$ で、公比が $\dfrac{b}{a}$ 、項数がｎの等比数列です。 その和は、等比数列の和の公式から $S_n=\dfrac{a^{n-1}\left(1-\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\right)}{1-\dfrac{b}{a}}$ 分母分子にaをかけて整理すれば、解答の網掛けの式になります。 これで大丈夫ですか？