正四面体

質問させていただきます。 正四面体において、内接球と外接球の中心が一致する理由を考える上で、 外接球と内接球の中心が、頂点から面へ下ろした垂線の上を通るということを証明して、考えようと思っています。 外接球の場合は、三角形の合同を使えば簡単に証明できるのですが、内接球が証明できません。どうすれば良いのでしょうか？

qwert asdfg さん、こんばんは。回答が遅くなり、ゴメン。 円や正四面体の対称性からほぼ自明なので、証明なんて考えたことはなかったのです。 あなたのやり方はその文からはよくわかりません。外接球の場合の証明でもアップしてくれればいいのですが。 私流の証明を書いてみます。 外接球の存在は認めるとしますよ。外接球の中心は正四面体の内部にあることも認めましょう。その中心をOとします。正四面体をABCDとします。このとき、OA=OB=OC＝OD（なぜなら球Oは外接している）とAB=BC=CA=AD=BD=CDであることから立体OABC、OBCD,OCDA,OBDAは合同な正三角錐です。よってOから底面までの距離（正三角錐の高さ）も等しく（高さは底面に垂直に下した線分の長さですから、Oと面との距離になります）、すなわちOは4つの面までの距離が等しいです。よってこの点Oは内接球の中心でもあります。 書いてみると、突っ込まれそうなところがいくつかあるようですが、我慢できますか？（笑） これでどうでしょうか。コメント欄に何か返事を書いてください。