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平方根　自然数となるｎを求める

    林 真 (id: 570) （2022年1月1日16:31）
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    （２）√n^2+11n-26の√の中を因数分解するまではわかりますが、そのあとはわかりません。 よろしくお願いいたします。
    （２）√n^2+11n-26の√の中を因数分解するまではわかりますが、そのあとはわかりません。

    よろしくお願いいたします。

    IMG_1274.JPG

    回答

    H. A. (id: 572) （2022年1月6日14:06）
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    $$ \begin{aligned} \sqrt{n^2 + 11n - 26} = k　(kは自然数) \end{aligned} $$ とする．両辺を2乗して変形すると， $$ \begin{aligned} n^2 + 11n - 26 &= k^2 \\ (n+\frac{11}{2})^2 - \frac{225}{4} &= k^2 \\ (n+\frac{11}{2})^2 - k^2 &= \frac{225}{4} \\ (2n+11)^2 - 4k^2 &= 225 \\ (2n+11 -2k) (2n+11 +2k) &= 225 \\ \end{aligned} $$ よって，　$2n+11-2k < 2n+11 + 2k$　であることを考慮すると $$ \begin{aligned} (2n+11 -2k,2n+11 +2k) = (1,225), (3, 75), (5, 45) \end{aligned} $$ となる．（以下省略）
    n2+11n−26=k　(kは自然数) \begin{aligned} \sqrt{n^2 + 11n - 26} = k　(kは自然数) \end{aligned}
    とする．両辺を2乗して変形すると，
    n2+11n−26=k2(n+112)2−2254=k2(n+112)2−k2=2254(2n+11)2−4k2=225(2n+11−2k)(2n+11+2k)=225 \begin{aligned} n^2 + 11n - 26 &= k^2 \\ (n+\frac{11}{2})^2 - \frac{225}{4} &= k^2 \\ (n+\frac{11}{2})^2 - k^2 &= \frac{225}{4} \\ (2n+11)^2 - 4k^2 &= 225 \\ (2n+11 -2k) (2n+11 +2k) &= 225 \\ \end{aligned}
    よって，　2n+11−2k<2n+11+2k2n+11-2k < 2n+11 + 2k　であることを考慮すると
    (2n+11−2k,2n+11+2k)=(1,225),(3,75),(5,45) \begin{aligned} (2n+11 -2k,2n+11 +2k) = (1,225), (3, 75), (5, 45) \end{aligned}
    となる．（以下省略）
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