漸化式で決まる数列の極限の問題について

右下の添え字を( )で表します (2)のアプローチの場所にある「|a(n+1)-α|≦r|a(n)-α|がいえて、これを繰り返し用いると~」の部分がわかりません。どう繰り返し用いているのですか？また、解答のここで「√a+x(n)≧だから√a+x(n)+√a+α≧√a＋α=α」のところからアプローチとどう対応していてこうなっているのかわかりません。

わんこ わんわん さん、こんにちは。 まず、アプローチのほうから。 太字の不等式の番号を１つ下げて、（ｎ≧２）とすると $|a_n-\alpha|\leqq r|a_{n-1}-\alpha|$ …①が言えます。 この番号を１つ下げると $|a_{n-1}-\alpha|\leqq r|a_{n-2}-\alpha|$ …②なので、 ①②をつなげて（a≦pb、ｂ≦ｃならばa≦㍶ということで） $|a_n-\alpha|\leqq r\left| r|a_{n-2}-\alpha|\right|=r^2|a_{n-2}-\alpha|$ つまり $|a_n-\alpha|\leqq r^2|a_{n-2}-\alpha|$ …③ これで１段階下げることができました。 同じように、 $|a_{n-2}-\alpha|\leqq r|a_{n-3}-\alpha|$ なので、③につなげて $|a_n-\alpha|\leqq r^2|a_{n-2}-\alpha|\leqq r^2| r|a_{n-3}-\alpha||=r^3|a_{n-3}-\alpha|$ つまり $|a_n-\alpha|\leqq r^3|a_{n-3}-\alpha|$ これでまた１段階下げられました。 これを繰り返していけば、いつかは右辺の数列のところはは $a_1$ になり、ｒはn-1乗になります。 これが「これを繰り返し用いると」ということです。 次。 回答の8行目の式の分母に10行目の結果を繋げますよ。 $\sqrt{a+x_n}+\sqrt{a+\alpha}\geqq \alpha$ だから、8行目の分母をより小さいαに変えたら全体の分数の値は大きくなります。よって７～8行目は、まず絶対値をとって $|x_{n+1}-\alpha|=\dfrac{1}{\cdots \cdots}|x_n-\alpha|$ としておいて10行目をつなげ $|x_{n+1}-\alpha|\leqq \dfrac{1}{\alpha}|x_n-\alpha|$ が得られます。 この式がアプローチに出ている太字の式のｒが1/αになった式ですから、ここでアプローチにつながります。さっきの説明のように繰り返して適用すると、さいごは $x_1$ になり、1/αはn-1乗になります。 これで大丈夫ですか？コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。