極限(2)

何故1-cosx≒x²/2になるのですか？また≒なのに普通に使っても良いのですか？

わんこ わんわん さん、 え～と、関数の近似とか第1次近似式とかは習いましたか？ あるいは大学の範囲ですが、マクローリン展開とかテイラー展開とか知ってますか？ x=aの付近でのf(x)の近似式がg(x)であるとは、g(x)は多項式で、しかも $f(a)=g(a) ,f'(a)=g'(a),f''(a)=g''(a)\cdots$ が成り立つことです。第1次導関数値まで等しいのを1次近似値、第2次導関数値もひとしいものを2次近似式と言います。 そういう知識からコサイン関数の近似式が知られています。 ｘが充分に０に近いとき、次のような２次近似式が成り立ちます。 $\cos x \fallingdotseq 1-\dfrac{1}{2}x^2$ $\sin x \fallingdotseq x$ ｘが０に近いとき、 $(1+x)^n \fallingdotseq 1+nx$ とか $\sqrt{1+x} \fallingdotseq 1+\dfrac{1}{2}x$ など、 数Ⅲでやりませんでしたか？これらは関数の1次近似式と言います。 2次近似式もあり、 $(1+x)^n \fallingdotseq 1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2}x^2$ や $\sqrt{1+x} \fallingdotseq 1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2$ となります。 初めに書いたサインコサインの近似式は2次近似式です。 $\cos x \fallingdotseq 1-\dfrac{1}{2}x^2$　より、$1-\cos x \fallingdotseq \dfrac{1}{2}x^2$ だというのです。 この説明を全部書くのは至難なので、ネットで検索してください。教科書にもあるかも。 たとえば、https://rikeilabo.com/approximate-expression https://math.nakaken88.com/textbook/basic-approximate-expression/ https://math.nakaken88.com/textbook/standard-approximate-expression/ https://math.nakaken88.com/textbook/standard-second-order-approximation/ その解答にもありますが、奥の手、裏の手、ずるい手、ですので、答案上はそのような≒の式を使うことはできませんよ！ これで大丈夫ですか？