大学入試　空間図形の最大値

一辺の長さが1の正四面体 OABCがある。 辺OA上（両端を除く）の点Pに対し、Pを通り平面ABCに平行な平面と、辺OB、OCとの交点をそれぞれQ,Rとすると、三角形PQRは正三角形となる。 この正三角形PQRに内接する円を1つの底面とし、もう1つの底面が平面 ABCに含まれる直円柱の体積をVとする。Vの最大値を求めよ。 自分で考えたのですが、歯が立ちません。 どなたか分かりやすく解答解説お願いします。

もつ なべ さん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 ずいぶんと旨そうな名前ですね。 さて、ここは質問のサイトなので丸投げはちょっと…なんです。 「自分で考えたのですが、歯が立ちません」というのは、どこまでやって歯が折れたんでしょうか？ 質問の際はできるだけあなたがやれているところまでを見せてください。一番いいのはあなたのノートを写真でアップしてくれることです。次回からはお願いしますね。 たとえば、あなたは何を変数にしましたか？△PQRは正三角形で、その変数を使って内接円の半径は表わせましたか？直円柱の高さも変数で表わせましたか？体積まで式にしたのに、最大値の求め方が分からない？答が出たのにどうしても合わないのかな？あるいは、解答を読んで行き詰ったのかな？ など、どのレベルから回答すればいいのか教えてくれないと、私が無駄なことまで書くことになってしまい、いやなんです。 この問題の解答をお持ちなら写真でアップしてください。なければ正解だけでも書いてくださいね。 では、お返事を待っています。ここでは会話型を目指しています。いっぺんに私の解答を書いてもあなたの力にならないと思うので、とりあえず方針を書いてみますので、全く歯が立っていないのならやってみてください。 OP=ｔ、0<t<1とする。これを変数として、体積をｔで表わし、最後は微分ですね。 正三角形PQRの1辺もｔです。1辺がｔの正三角形の内心が内接円の中心ですが、なにせ正三角形ですから、内心も重心も一致しますので、それを利用して（２：１）内接円の半径を出しますよ（ｔの式）。次に円柱の高さですが、それはPから△ABCに下した垂線の長さです。その足をD,またOから△ABCに下した垂線の足をEとでもしておけば、△OBE∽△PBDなので、円柱の高さは求まります（ｔの式）。 これで体積をｔの式で表わせました。ｔの3次式になると思いますので、あとはｔで微分して最大になるようなところを見つけますよ。 じゃ、まずはこの方針でやってみて、行き詰まったらそこまでのノートを見せてください。 これで大丈夫ですか？ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとかコメント欄に何か返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。 あれ？タグがベクトルでしたか！微分じゃないの？ベクトルでの解法でなければだめでしたか？そのへんも教えてくださいね。今タグに気が付きました。