存在条件、方程式

自分の解答を以下に示しました。 答えはk＞2なのですがどこが間違っているかわかりません (出典　東京大学1989年第一問) 二つの曲線 y=k(x-x^3)…c1 x=k(y-y^3)…c2 が第一象限にα≠βなる交点(α.β)が存在するようなkの範囲を求める。 c1において β>0より0<α<1…① 同様にc2においてα>0より0<β<1② α＝sinθ、β＝sinφとする　(φ≠θ、0<θ、φ<π/2) c1、c2に代入して sinφ＝k sinθcos^2θ…①‘ sinθ＝k sinφcos^2φ…②‘ ①‘を ②‘に代入して整理すると 1=kcosθcosφ k＝1/cosθcosφ…③ θを固定して　f(φ)＝(1/cosθ)1/cosφとする f’(φ)＝(1/cosθ)sinφ/cos^2φ＞0より f(φ)は単調増加 よってf(φ)＞f(0)＝1/cosθ y＝f(φ)かつy＝kが共有点を持つとき k＞1/cosθ θの固定を外すと 0<cosθ<1であるから 1<1/cosθ するとkは k＞1/cosθ＞1すなわちk＞1が必要 ここで逆にk＞1のときθ、φを動かしたとき θ≠φかつ0＜θ、φ＜π/2の下で ③を満たすθ、φが存在するので k＞1で十分である よって答えはk＞1

麻生 嵩晴 さん、こんにちは。２度目ですね。 まだ全部読み切ってないのですが… そもそも①の前に条件が不足です。 ｋ＞０とかいう条件がないですが。 そうならｋ＞０も示さねば。 これは必要条件が出ただけのようですね。 θとφは全く任意にとれるわけではなく、①②で縛られていますから、 微分したりして単独に動かして調べても無理だと思います。 ｋ＞１の場合、ギリギリｋ≒１となるのはθ＝π/2、φ＝０ですが、そのθとφを使ってα＝１、β＝０ですが②は満たさないですね。 θとφを単独に動かして考えたところが間違いだと思います。 これでどうでしょうか？