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大学院入試問題
この2問の解き方と答えが分かりません。
よかったら教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします！
回答
いずれも2階線形定数係数非同次微分方程式という形です。調べてみてください。
具体的には、これの同次形（ $ y'' + ay' + b = 0$ のかたち）の一般解を求め、それに何か一つ元の式の特殊解を足せばよいです。
もし同次形の一般解の求め方を知らなかったら調べてください。
(b)
特殊解を $y=\lambda e^{2x} $ とおきます。これを代入して、
$$
4\lambda e^{2x} - 4\lambda e^{2x} + \lambda e^{2x} = 3e^{2x}
$$
よって、$\lambda = 3$ 。特殊解は $y = 3e^{2x}$ 。
$y'' -2y'+y=0$の一般解は、$y=C_1 e^x+C_2 xe^x$（$C_1, C_2$は任意定数）なので、
元の式の一般解は$y=3e^{2x}+C_1 e^x+C_2 xe^x$となります。
(c)も同様にして解けます。特殊解は$y = p\sin{2x} + q\cos{2x}$の形になります。