定積分の性質

赤線部のf(c)/2という部分がなぜf(c)とならずにf(c)/2となるのか教えていただきたいです。 赤線部の不等式を出すためにε-δ論法を使って赤線部を出していることはわかるのですが、 ε-δ論法の定義より、 任意のε>0に対してとあるδ>0が存在するとき、 0<|x-a|<δが|f(x)-f(a)|<ε とあるように任意に指定したεが|f(x)-f(a)|より大きくなるので 同様にして、|f(x)-f(c)|<f(c)となるのではないのでしょうか。 お答えいただけると幸いです、よろしくお願いします。

阪本 輝 さん、こんにちは。 ｃの近傍では $|f(x)-f(c)|$ をいくらでも０に近づけられるので、その不等式の右辺は実は何が来てもいいのです。 で、わざとらしく $\dfrac{f(c)}{2}$ にしたのは、一番最後の結論に合うようにしたものなのです。つまり、つじつま合わせです。 この問題を最初に証明するときは解答者だって $f(c)$ でやったのかもしれません。それで議論を進めると最後が $2f(c)\delta$ になっちゃって、それでもいいのですがかっこよく $f(c)\delta$ にしたいので、さかのぼってはじめの不等式の右辺を $\dfrac{f(c)}{2}$ にしたのです。 というわけで、 $\dfrac{f(c)}{2}$ でも $f(c)$ でもいいんです。はじめから $\dfrac{f(c)}{2}$ が気が付くものではないのです。やった結果、最後をきれいにしたいがために、前段階で工夫をした、というだけです。数学的な深い意味はありません。と思います（いちおう予防線を張っておく）。 これで大丈夫ですか？これを読んだらコメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。