ルートの問題

私は数学な好きな学生で授業中に問題の答えについて、先生と言い争いになってし結局どちらが正しいのかわからなくなり、こうして質問をしようと思いました。問題は「7√x + 9 = 10√x +10」というxについて解く問題です。計算を進めていくと√x = -1/3 という式が出てきて、二乗してx = 1/9 となりました。しかしx = 1/9をもとの式に代入すると式が成立しませんでした。これは√1/9が-1/3 と 1/3 という二つの答えを持っていることが原因でした。試しに√1/9 = -1/3として代入すると、正常に式が成立しました。しかし、先生によると√1/9 = 1/3 の場合成立しないためこの問題は解なしであるといいます。そこで、私は先生に「√x=-3」という問題を作って先生に解かしてみました。そうするとこれもさっきの問題と同じように√9 は-3 と3という二つの解をもっていて、一つが排除されるから、解なしだといいました。これはどちらがあっていますか？また、なにか気づく点があったら教えてくださいm(_ _"m)

Yama Ren さん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 先生と言い争いですか！頼もしいですね。 まずはっきりさせておかなくてはならないのが言葉と記号の意味です。 「√1/9が-1/3 と 1/3 という二つの答えを持っている」というのは間違っています。 「√9 は-3 と3という二つの解をもっていて」というのも間違いです。 平方根という言葉→９の平方根は２つあって、それは３とー３ 0ではないｘの平方根は２つあって、それは $\sqrt{x}$ と $-\sqrt{x}$ √の記号の意味→２つの平方根のうちの正の数のほうを表すことに約束する。負の数の方は ー√で表わすことにする 特別に $\sqrt{0}=0$ とする、 このへんのことは教科書のルートの記号の説明のところにあるはずです。もう一度読んでおいた方がいいです。 ルートの記号の約束から $\sqrt{9}=3,-\sqrt{9}=-3$ となります。 $\sqrt{\cdots}$ が負の数を表すことはないのです！！ したがって、あなたがやっている方程式で、$\sqrt{x}=-\dfrac{1}{3}$ が出た時点で、これは無理だ、成り立つわけがない、成り立たせるようなｘの値なんか存在しないよ！と判断できるのです。ですからその方程式を満たすｘの値は存在しない。すなわち解なし、ということになります。 言葉と記号をもう一度整理してみてくださいね。 これで大丈夫ですか？ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。