2次不等式 解が存在しない範囲

２枚目の写真の線を引いたところなのですが、どうして0≦a²-2a≦2となるのですか？ また、問題文にある式の判別式をDとし、D<0となる範囲を求めるやり方は間違っていますか？？

楓夏 さん、こんにちは。回答遅くなってゴメン！ まず、問題文が「（実数）解（範囲）を持たない」というのなら判別式＜０でいいですが、この問題はそうではなく「整数ｘが解の範囲に含まれない」ということなので、不等式の解はあってもいいのです。でもその範囲の中に整数はないのです。だから判別式では無理でした。 で、その2次不等式はaの値にかかわらず因数分解ができ、不等式の解はあるのです。 その解は $a^2-2a$ が１より大きければ $1<x<a^2-2a$ …①だし、１より小さければ $a^2-2a<x<1$ …②ですね。 いずれにしろ、ｘ＝１という整数はその解には含まれません。また $a^2-2a$ が１のときは2次方程式は解なしで、問題の条件に合います。…③ となると①のときは $a^2-2a$ が２を超えては整数２が含まれてダメです。際どいのは不等式の大きいほうの端 $a^2-2a$ がちょうど２になるときです。このときは不等式の解は $1<x<2$ となるので２は含まず、その範囲内には整数はありませんから $1<a^2-2a\leqq 2$ で問題の条件を満たします。 同様に②の場合、 $a^2-2a$ が０より小さければ②の解は整数０を含んでしまうので だめで、きわどいのは $a^2-2a=0$のときですが、この時は②は0<x<1となるので整数を含まずOKです。 $0\leqq a^2-2a<1$ なら問題の条件を満たします。 以上、①②③より $a^2-2a$ の値は０以上2以下なら整数解を含まないことが分かります。 ここまで細かく考えないでもいいのですが、細かく書きました。答案にこれを書くことは必要ありません。頭の中で、あるいは余白でチョコチョコかいて見つけます。あるいは下に凸の放物線で、ｘ＝１を通るものを書いてみて、１ともう一つの交点 $a^2-2a$ が１の両側の０や２の間にあればいいのだ！と思っても大丈夫です。ただし、不等号に等号がつくのか付かないのかはよ～く考えなければなりませんね。 これで大丈夫ですか？いつものように、コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。