∫logsinxdx(0,π)の積分について質問てす。

写真の問題についてですが、 ①なぜ青線部の左辺の式を右辺の式に変形できるのですか？ ②∫logsinxdx(0,π)を黄線部の ∫logcos(θ/2)dθ(0,π)に代入したあとどのように計算すれば∫logsinθdθ(0,π)=-πlog2となるのですか？ 以上の2点について解説お願いします。 補足:①についてですが、確かにsinxは(0,π)においてx=π/2で対称ですが、log(sinx)でも同様なことが言えるのでしょうか？またこれを確かめるにはグラフの概形を描くしかないのでしょうか？

あか 青 さん、こんにちは。 まず、「補足」の質問から。 ｘ＝π/2について対称のようだと考えたとき、それを確かめるのは $f(\frac{\pi}{2}-t)=f(\frac{\pi}{2}+t)$ を示せばいいです。問題の関数ではどちらも $\log(\cos t)$ になり、等しいですから、ｘ＝π/2に関して対称だと分かりますよ。 ①は、そういうわけで、積分範囲を０からπにできます。 ②は、代入すると左辺と右辺の代入した部分が消えて、そこから $\int_0^{\pi}\log(\sin\frac{\theta}{2})d\theta=-\pi \log 2$ となりますので、これもまたθ/2＝ｘとでも置換してみれば $\int_0^{\pi}\log(\sin\frac{\theta}{2})d\theta=2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x)dx$ となり、また青線のところで考えたように対称性より $=\int_0^{\pi} \log(\sin \theta) d\theta$ となります。定積分では変数の文字は関係ないので、ｘはθに直せます。 これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。