ベクトル方程式について

チャートなどでベクトル方程式の単元の問題を解くとき、これは本当に必要なのかという疑問が生じました。どういうときに便利で、なぜこのような一見回りくどいようにも思える(普通の座標の考えで十分では？)考え方を用いるのか教えてほしいです。 また、直線同士の関係(添付画像のような問題)てわざわざ法線ベクトルというものを持ち出してくるのはなぜでしょうか。

fukatsu syun さん、こんにちは。2回目ですね！ たしかに、そこに書いてある程度の問題なら、中学生の範囲ですから、わざわざ法線ベクトルを持ち出すこともないですね。 2次元の空間で$ax+by+c=0$ は直線を表わし、その方向ベクトルは $(-b,a)$ だということしっていればそれだけでできます。 ただ、 $(-b,a)$ って、ちょっと不自然だと思いません？ しかし、ベクトルは3次元もあるし、実は何次元でも成り立つ式がいくつもあるのです。 たとえば3次元空間ベクトルでは $ax+by+cz+d=0$ は平面を表し、ベクトル $(a,b,c)$ はこの平面の法線ベクトルをあらわします。 2次元の場合も$ax+by+c=0$ は直線を表わし、ベクトル $(a,b)$ はこの直線の法線ベクトルをあらわします。2次元も3次元も同じ形で書けるので、ベクトルの世界では法線ベクトルの方がポピュラーなのです。３次元で直線の方程式は$\dfrac{x-p}{a}=\dfrac{y-q}{b}=\dfrac{z-r}{c}$ という形にしたときに、ベクトル $(a,b,c)$ は方向ベクトルになります。ただし3次元では直線の法線ベクトルは1つに決まらないので他の条件付きの場合でないと用いません。長所短所がありますね。 あれこれ書きましたが、なにが言いたいかというと、今後ベクトルの学習が進むと法線ベクトルの方が使いやすい、求めやすいということなんです。 2次元のこの問題で、あえて法線ベクトルを使ったのは、あるいは3次元になって学習する平面の学習に向けた「前どり」かも。 ベクトルの世界では次元に関係なく直線の表わし方は、方向ベクトル$\overrightarrow{t} $ が与えられていれば、$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{t}$ と書くこともありますし、 法線ベクトル $\overrightarrow{n}$ が与えられていれば$\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}\right)\cdot \overrightarrow{n}=0$ と書くこともあります。そこに出てくるベクトルが2次元なのか3次元なのか、はなまた4次元5次元なのか関係なく考えられるという強力な武器です。 これで大丈夫ですか？前のように、これを読んだら、分かったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。