ユークリッドの互除法の応用

ユークリッドの互助法についての問題です。 pを素数で、p≡1(mod 4)を満たすものとする。 整数xをx^2≡-1(mod p),0<x<p/2を満たすものとする。x'＝p-xも第一の条件を満たすが、p/2<x'<pである。 p,xに対し、ユークリッドの互除法を行う。 r_0＝p r_1＝x p＝q_1・x＋r_2 (0≦r_2≦b) x＝q_2・r_2＋r_3 (0≦r_3≦r_2) r_2＝q_3・r_3＋r_4 (0≦r_4≦r_3) … r_k-2＝q_k-1・r_k-1＋r_k (0≦r_k≦r_k-1) … r_n-1＝q_n・r_n＋r_n＋1 (r_n＋1＝0、即ち割り切れる) この時、r_n＝gcd(p,x)＝1である。 また、整数の組の列｛S_k,T_k｝(k＝0→n＋1)を次の漸化式で定める。 S_0＝1、T_0＝0、 S_1＝0、T_1＝1、 S_k＝S_k-2-q_k-1・S_k-1、 T_k＝T_k-2-q_k-1・T_k-1 (2≦k≦n＋1) この時、次が成り立つ(誘導で示しました) (1) |S_1|<|S_2|<|S_3|<…、 |T_1|<|T_2|<|T_3|<…、 (2) 0≦k≦n＋1に対し S_k・a＋T_k・b＝r_k (a、bはユークリッドの互除法におけるr_0＝a、r_1＝b、a>b,gcd(a,b)＝1の正の整数です) (3)S_n＋1＝±x、T_n＋1＝∓p(複合同順) ここまでが前提です (2)をk＝nの場合に適用すると、 S_n・p＋T_n＋x＝r_n＝1 である。したがって、 x・T_n≡1 (mod p) である。両辺にxを掛け、x^2≡-1 (mod p)を用いると、 T_n≡-x (mod p) である。一方(1)と(3)より、 |T_n|<|T_n|＝| ∓p|＝p である。このことより、 T_n＝-xまたはp-x であることを示せ。 という問題なんですが… T_n≡-x (mod p)より整数kを用いて、 T_n＝kp-xすると、 k＝0のときT_n＝-x、k＝1のときT_n＝p-x と表せることには気づきました。 ですが0≦T_n＝-x<pより、 0≦-x⇆0≧xとなりますが、 前提として0<x<p/2なので T_n＝-xにはならないんじゃ…？ ってなって行き詰まってます。 よろしくお願いいたします。