定常円上と交わる平行の2本線間の円弧の距離

定常円上を長方形の箱が時計回りに移動してます。 定常円上を2本の平行線が交差するように交わります。 これにより2つの交点が生まれますが、その交点間の円弧の距離を知りたいです。 わかる情報は、 ① 交点に箱が触れたときの角度（例：30°） ② 2本の平行線の垂直距離（例：1m） ③ 定常円の回転半径（例：10m） 0.001secずつ時間を進行した積算で近似値を求めましたが、 それに対して一発で出せる数式で、どの角度でもそこまで乖離が無いものを探しています…。 箱が交点に交わった時に直線方向に走った時の平行線間の距離も見ましたが、 角度が小さくなるにつれ差異が膨大になっていきました。 ごちゃごちゃ書きましたが、よろしくお願いします…