回転体の体積

写真の問題なんですが、積分範囲がややこしい形になって、このまま進めていいのかわからないです。ここまでは合ってますか？？ もしよかったら、答えまで出してもらえませんか？？ 合ってる前提でやってみました！！

田中 くみ さん、こんにちは。夜中まで頑張ってますね。体には気を付けて！ さて、答案を拝見しました。 それで全く問題はありません。 答もあってます。 どこかで見たような数字の並びだと思ったら $\dfrac{\pi}{6}(3e-1)^3$ でした。ま、このほうがきれいですが。 $e^x=t$ と置く置換積分でもいけそうです。 これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。 なお、写真をもう少し鮮明にお願いします。$e^{2x}$ で解いていて、あなたの答案を見たら $e^{3x}$ なので、そうか、２ではなく３なのかと気が付きました。小さい添え字がなかなか見にくいのです。よろしく。 それと、福岡大２０２３とあるので検索してみましたが、どうも見つかりませんでした。なぜかなぁ。 ================================== 追記　2024/12/08　16:20 コメント、拝見。 $e^x=t$ と置きます。 $3e^{x+1}$ は $3e\cdot e^x$ と書き換えてから (　　)²を展開してから $e^x$ をくくりだして $e^xdx=dt$ を使えばtの５次の整式の積分になってくれます。 ｔの積分範囲は１から $\sqrt{3e}$ となります。 これで同じ答が出ます。 ま、しかし、こちらの方が楽だということもありませんね。すみませんでした。 これで大丈夫ですか？