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a:b=a':b' だった場合、 a:b=(a-a'):(b-b') が成り立つか、また成り立つなら証明を教えてください。 中3です。

こんにちは。 比例式 $A:B=C:D$ を言い換えると $AD=BC$ となるため、問題を「$ab'=ba'$ ならば $a(b-b')=b(a-a')$ は成り立つか」と言い換えることができます。$ab'=ba'$ の両辺を $-1$ 倍し、両辺に $ab$ を足すことで $a(b-b')=b(a-a')$ が得られるため成り立ちます。

ないと ふぃーばー さん、おはようございます。初めての方ですね。よろしく。 中学の式の証明問題でよくやる手で説明してみますね。 等式の証明などに条件として $a:b=a':b'$ というのが出てきますが、その時は $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}=k$ としてから（あ、これは大丈夫ですか？） $a=bk,a'=b'k$ として証明したい式の各辺に代入する方法です。 $a=bk,a'=b'k$ より、証明したい式の左辺=$a:b=bk:b=k:1$ です。また右辺は 右辺＝$(a-a'):(b-b')=(bk-b'k):(b-b')=k(b-b'):(b-b')=k:1$ よって$a:b=(a-a'):(b-b')$ なお、「加比の理（かひのり）」という有名な（？）公式があります。これが納得できて使えると結構楽です。 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}$なら「加比の理より $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}=\dfrac{a-a'}{b-b'}$が成り立つので よって$a:b=(a-a'):(b-b')$」と証明が書けます。（あ、でもこの問題では加比の理自体の証明みたいだから使わない方がいいかも（汗）（笑）。 https://manabitimes.jp/math/941　のページの初めの方に説明があるので読んでみるといいと思います。 これで大丈夫ですか？ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。 ========================== 追記 コメント拝見しました。 $\dfrac{a}{b}=k$ と置いたので、この式の両辺にｂをかければ $a=bk$ がえられます。ａ’、ｂ’についても同様です。 $\dfrac{a'}{b'}=k$ と置いたので、この式の両辺にｂ'をかければ $a'=b'k$ がえられます。 これで大丈夫ですか？