高2漸化式

画像の式2.94から、式2.95、2.82を用いて、式2.96が導かれるのは分かります。 しかし、2.97に関して、単に漸化式だからkの値を一つずらしても、2.96と変わらないため、同値で構わないという認識なのでしょうか？ 初歩的な質問ですみません。ご回答いただければ幸いです。

こんにちは。 $k$ をずらしてもよいのは初項が $0$ だからです。式 $\textrm{(2.96)}$ の左辺をシグマ記号を使わない形で書き直すと、 $$ \begin{align*} & \sum_{k=0}^{\infty} a_k k x^{\underbar{k-1}} \\ = & a_0 \cdot 0 \cdot x^{\underbar{0-1}} + a_1 \cdot 1 \cdot x^{\underbar{1-1}} + a_2 \cdot 2 \cdot x^{\underbar{2-1}} + \cdots \end{align*} $$ となりますが初項は $a_0 \cdot 0 \cdot x^{\underbar{0-1}}=0$ ですので、 $$ \begin{align*} & \sum_{k=0}^{\infty} a_k k x^{\underbar{k-1}} \\ = & a_0 \cdot 0 \cdot x^{\underbar{0-1}} + a_1 \cdot 1 \cdot x^{\underbar{1-1}} + a_2 \cdot 2 \cdot x^{\underbar{2-1}} + \cdots \\ = & 0 + a_1 \cdot 1 \cdot x^{\underbar{1-1}} + a_2 \cdot 2 \cdot x^{\underbar{2-1}} + a_3 \cdot 3 \cdot x^{\underbar{3-1}} + \cdots \\ = & a_1 \cdot 1 \cdot x^{\underbar{0}} + a_2 \cdot 2 \cdot x^{\underbar{1}} + a_3 \cdot 3 \cdot x^{\underbar{2}} + \cdots \\ = & \sum_{k=0}^{\infty} a_{k+1} (k+1) x^{\underbar{k}} \end{align*} $$ と変形できます。式 $\textrm{(2.97)}$ は式 $\textrm{(2.96)}$ の左辺から右辺を引いたものですので、式 $\textrm{(2.97)}$ と式 $\textrm{(2.96)}$ は同値です。