問題の解法で分からない部分

画像の赤線を引いている部分がなんの説明もなく急に出てきて、なぜその大小関係の発想が出てきたのか、また、その大小関係は本当に正しいのか理解出来ず、混乱しています。ここの部分を解説していただけるとありがたいです。

こんにちは。 大小関係が成り立つことは、$n \to \infty$ から分かります。$n \to \infty$ から十分大きな $k$ のみを考えればよいため、$k \geqq 1$ としても問題ありません。$k \geqq 1$ から $\dfrac{1}{4}(4k^2-1) \geqq \dfrac{3}{4}$ より $0 < \dfrac{1}{4}(4k^2-1)$ です。$k^2-\dfrac{1}{4} < k^2$ より $\dfrac{1}{4}(4k^2-1) < k^2$ です。$k$ が正であることより $k^2 < k^2+k$ です。 大小関係の発想については、はさみうちの原理を使って計算しやすい極限の問題に置き換えたいという発想が先にあります。$\dfrac{1}{k^2}$ をはさむ式を決めるときには、極限値が変わらないようにしながら、極限が計算しやすい式を試行錯誤しながら見つけます。 式を少し変えただけでは極限値は変わらないという直感があれば、$\dfrac{1}{k^2}$ に似た式である $\dfrac{1}{k(k+1)}$ を試すというのはある程度自然な発想だと思います。$\sum \dfrac{1}{k(k+1)}$ という形の和は、部分分数分解したときに項が打ち消し合うことがよく知られているため、極限が求まることも期待できます。 一方 $\dfrac{4}{(2k-1)(2k+1)}$ を試すというのは、$\textrm{(1)}$ の設問がなければ思い付かないと思います。$\textrm{(1)}$ の設問があれば、$\textrm{(1)}$ の極限が $\dfrac{1}{8}$ と分かっているため、極限を一致させるために $4$ 倍した式を試すという考察の流れは順当だと思います。 今回の問題、実は $\dfrac{4}{(2k-1)(2k+1)}$ の代わりに、より思い付きやすい $\dfrac{1}{k(k-1)}$ を使って、はさみうちの原理を使っても極限は求まります。そのため、誘導の仕方が不自然だと私は感じましたが、部分分数分解の練習にはなると思います。 $\textbf{\textsf{（追記: 2024年12月28日17:53）}}$ コメントに対する返信です。 $k \geqq 1000000000000$ としても問題ありませんし、どんな整数 $A$ を持ってきて $k \geqq A$ としても問題ありません。好きなだけ大きな整数を持ってくることができます。本来であれば、厳密に証明すべき事項ではあるのですが、高校範囲外(イプシロンデルタ論法)の手法を用いる必要があるため、ここでは直感的な説明に頼ります。直感的には、極限が $k \geqq A$ における挙動のみによって決まり、$k < A$ のときにどんな異常な値を取っても、無限大に飛ばすときに無視できるからです。 例として $a_n=\begin{cases} \dfrac{1}{n} \ (n=1,2,4,5,6,\cdots) \\ \pi \ (n=3) \end{cases} $ という異常な数列の極限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよという問題があったとします。 $a_n$ をグラフで表すと添付画像のようになりますが、この数列が $0$ に収束するということは直感的に分かるかと思います。このとき、グラフの右側にのみ着目していて、$n \leqq 3$ のときは無視してしまっています。ここで、$n=4$ を無視しても $n=5$ を無視しても $0$ に収束するという直感は変わりません。このように、有限の項数であれば、無視してしまっても結論に影響しないことが分かります。有限の項を省いても影響を及ぼさないほど、無限大はずっと遠い場所にあるという感覚です。

Beat Pop さん、こんにちは。お久しぶりですね。 たしかに、唐突にこの式を出されても戸惑いますよね。 まず、どこから出てきたかは別として、この不等式は正しい不等式です。 不等式の2番目の辺は $\dfrac{1}{4}(2k+1)(2k-1)$ で、ｋ≧１ですからこれは正です。だから初めの不等号は成り立ちますね。 $\dfrac{1}{4}(4k^2-1)=k^2-\dfrac{1}{4}$ ですから2番目の不等号も正しいです。 3番目の不等号は、ｋ≧１なので当然成り立ちます。 以上で、その不等式が正しいことは確認できます。そして、それをもとに解答のようにやっていけば、後半で（１）が使えて挟み撃ちが完成し、めでたしめでたしとなっています。 では、いったいどこからそのような長い不等式を見つけたのか？？ 結果を見れば「（１）が使えるような不等式にしたかった」というだけだと思います。 （１）を使わないでやる方法はありますし、その方がきれいです。残念ながらこの理科大の問題は不良問だと思います。 自然に挟み撃ちを使うなら $k^2-k<k^2<k^2+k$ で充分です。これなら発想できそうです。 この不等式の逆数を取って不等号の向きを逆にし、左辺、右辺は部分分数分解し、シグマをｎから２ｎまでとれば左辺右辺は途中がずらっと消えるというよくあるパターンで簡単になります。そこに全体にｎをかけて、左辺右辺の極限を求めればどちらも1/2になりますよ。 （１）がなくて、挟み撃ちを使うならこのほうがすっきりです。 さらに言うと、（２）は挟み撃ちの適用問題ではなく、区分求積法の問題ととらえた方が楽です。 $\lim_{n\to\infty}n\Sigma_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{k^2}$ $=\lim_{n\to\infty}\Sigma_{k=n}^{2n}\dfrac{n}{k^2}$ $=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\Sigma_{k=n}^{2n}\dfrac{n^2}{k^2}$ $=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\Sigma_{k=n}^{2n}\left(\dfrac{n}{k}\right)^2$ $=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\Sigma_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{\left(\dfrac{k}{n}\right)^2}$ $=\int_1^2\dfrac{1}{x^2}dx$ となり、求められますよ！ 問題を見たときに、ｎやｋの具合、位置関係などから区分求積法を思いつくのはそれほど大変なことではなく、すこしの慣れでできますよ。 これで大丈夫ですか？前のように、これを読んだら、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。