線積分について

画像の問題について質問です。この解説ではy=x²、z=0を先に代入してから答えを出しています。この代入を後に回しても答えは同じになると思うのですが、下に示す方法だと上手くいかないです。 ∫(C)A(r)･dr= ∫[-1→1]xydx+∫[1→1](x+y)dy+∫[0→0]0dz =0 2つ目の式でy=x²を置換すれば確かに上手く行くのですが、その動作すらも最後に回した場合にこのような違った結果が出てくるのは何故なのでしょうか。原因を教えていただければ幸いです。お願いします

catastrophe さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 私は中高が専門なので、大学の数学についてはあまり答えられませんが、少なくとも式の上であなたが変形した2行目の式（積分の和になっている式）はなりたちません。 たとえば、初めの積分∫xydxですが、この式はdxがついているのでｘで積分ですね。ｙはどう扱ったのでしょうか？ｙが定数なら「xyをｘで積分」はかのですが、ここではｙもｘの関数なので定数扱いはできません。∫xydxのままでは計算が進みませんよ。 2番目、3番目の積分はあまり意味がないです。ｙ方向やｚ方向に積分することはありません。あくまでも放物線の一部であるCについて積分しますよ。 ｘとかｙとか、1つの変数に関して積分するなら、他の文字が定数ならできますが、別な文字の関数なら、やはり代入して1つの文字で表わさなければそもそも計算できません。 これで大丈夫ですか？