群論における直和と直積について

大学2回生です。群論において、Πの逆向きの記号は⊕と同じ意味(直和)ですか？また、直和と直積の違いを例を挙げながら説明していただきたいです。

藤居 海誠 さん、こんにちは。2回生！懐かしい言葉です。関西の方でしょうか？私は関西の大学です。関東から行ったので、～回生というのが慣れなくてね。 さて、その記号は⊕と同じく直和の記号です。 A={1,2,3,4}、B={5,6,7,8,9}のとき、AとBの直和集合CはC={1,2,3,4,5,6,7,8,9}です。 集合CはAとBの直和である、と言います。 X={1,2,3,4,5}、Y={4,5,6,7,8,9｝のときはXとYの直和は作れません。 なぜならX∩Y≠φだからです。 集合CはXとYの直和ではないです。 集合CはD={1,2}、E={3,4,5,6,7,8,9}の直和です。 ある集合PがP=Q∪RかつQ∩R=φのとき、PはQとRの直和と言いますよ。 つまり、Cを共通部分のない2つの集合PとQに別けたとき、CはPとQの直和です。 C=P⊕Q、C=B⊕C、C≠X⊕Y 整数Z=｛3n}⊕{3n+1}⊕{3n+2}（ｎは整数） 実数R=｛有理数｝⊕｛無理数｝ A={1,2,3}、B={1,3,4,5｝のとき、AとBの直積Fは F=A×B={{1,1},{1,3},{1,4},{1,5},{2,1},{2,3},{2,4},{2,5},{3,1},{3,3},{3,4},{3,5}} となります。AとBから要素を一つずつ取ってきて順番に考慮して並べた対の集合です。 直和とは概念が全く異なります。 リンゴ3個以下、ミカン5個以下の買い方の集合TはT={0,1,2,3}×{0,1,2,3,4,5} ある意味での体格を表す指標V=｛体重｝×{身長｝ 大小2つのサイコロの目の出方の集合MはA={1,2,3,4,5,6}とすればM=A×A ｘｙ座標平面＝R×R y=f(x)のグラフ(上の点の集合）をGとすると、GはR×Rの部分集合（Rは実数の集合） このあたりでどうでしょうか？ 私は中高専門なので、大学の数学はあまり回答できませんが、さらに何かあればコメント欄になにか返事を書いてください。