数II-剰余の定理と因数定理

黄色チャート数II･B、Exercises54について質問です。 問題文：「整式P(x)を(x−3)²で割った余りが2x−5であり、x−1で割った余りが5であるとき、P(x)を(x−1)(x−3)²で割った余りを求めよ。」 解答として、「P(1)、P(3)を求める。→余りをax²+bx+cとおく。→連立方程式を立てる。」という方針を立てました。 しかし求める文字が3つに対して既知なのはP(1)、P(3)の2つのみで、上手く行きませんでした。 その後解答を見ると、写真のように解いていました。しかし、この解答の4~6行目が理解できず、行き詰まってしまいました。どういう事なのでしょうか。なぜ8行目のような式が立てられるのでしょうか。わかりやすく解説していただけますか。

Arcanum Aemilia さん、こんばんは。久しぶりの2回目ですね。 これは（　　）²で割るような話の時にはよく使うテクニックですので理解した方がいいですね。 （ただし、数Ⅱで微分というのを習うと、このようなテクニックとは別の方法でも解けるようになりますが) 普通に考えると因数定理が2回しか使えず、解けませんね。 3行目までは大丈夫なのですね。 $P(x)$ が3行目のように書けたとして、$P(x)$ を $(x-3)^2$ で割ることを考えてみますよ。 前半の $(x-1)(x-3)^2Q(x)$ の部分は $(x-3)^2$ で割り切れてしまい余りは出ません。でも実際には $2x-5$ という余りが出たのですから、それは後半の $ax^2+bx+c$ を $(x-3)^2$ で割ったときに出てきたものだと分かります。 言い換えると「$ax^2+bx+c$ を $(x-3)^2$ で割ったとき、あまりが $2x-5$ であった」ということなんです。 このことだけに注目して「P=AQ+R」の形で書けば $ax^2+bx+c=(x-3)^2Q'(x)+2x-5$ …①という式が作れるのは分かりますか？ $Q'(x)$ は商ですが、よく考えると、2次式を2次式で割っているので商は数だけになりますよ。わかりますか？ 2乗の係数（aと1)に着目すれば、その商はaになります。大丈夫ですか？ よって、①は$ax^2+bx+c=(x-3)^2\cdot a+2x-5$ …② これが8行目の式です。 これで未知の係数は1個だけになって、あとは10行目の式でｘ＝１の剰余定理を使えばaが求まるというわけです！！ 11行目の最初の＝の後ろには「０＋」というのが略されてますね。 これで大丈夫ですか？前回のように、これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。