積分

原点を中心とする半径1の円をCとするとき、次の積分の値を求めよ。 $$\int_{0}^{2π}dt\div(3-2\sqrt{2}cost)$$ 分数にするやり方分からず、数式見にくくてすみません。答えは２πです。 costをe^{it}を使う式に変化させたり、分母をTとおいて置換積分を試しましたが、うまく解けませんでした。 costが邪魔でコーシーリーマン関連も使いにくいし、留数定理を使おうにも結局costを別のものに置換しないといけないしで詰まってます。 解き方の指針で良いので教えてください。 よろしくお願いいたします。

こんにちは。 留数定理の典型問題ですので $\cos t$ を $e^{it}$ で表す方針で求まります。「うまく解けませんでした」ではなく、具体的な考察や計算過程を質問文に追加できますか？数式の入力が難しければ、写真をアップロードするという手段もあります。 $\textbf{\textsf{（追記: 2025年1月3日12:48）}}$ 写真を見ました。$z=e^{it}$ と置いたのですから $\{ e^{it} \mid 0 \leq t \leq 2\pi \}=C$ と $\dfrac{dz}{dt}=ie^{it}=iz$ より、 $$\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dt}{3-2\sqrt{2}\cos t} = \int_C \dfrac{1}{3-\sqrt{2}z-\sqrt{2}z^{-1}} \cdot \dfrac{dz}{iz} = \dfrac{1}{i}\int_C \dfrac{dz}{-\sqrt{2}z^2+3z-\sqrt{2}}$$ と変形できます。$-\sqrt{2}z^2+3z-\sqrt{2}=0$ を解くことにより特異点 $z=\alpha,\beta$ が求まり、 $$\dfrac{1}{i}\int_C \dfrac{dz}{-\sqrt{2}z^2+3z-\sqrt{2}} = \dfrac{1}{i}\int_C \dfrac{dz}{-\sqrt{2}(z-\alpha)(z-\beta)}$$ と変形できます。あとは $z=\alpha,\beta$ のうち閉曲線 $C$ 内にある特異点について留数を計算し、留数定理を適用すれば値が求まります。