三角関数　解の個数

赤で囲ったところの場合分けがいまいちわかりません。教えていただけませんか？

ももかさん、こんばんは。 なんか分かりにくい解答ですね。 赤い囲みの前まではOKなんですね。 そこまでで $a\leqq -2,1\leqq a$ が分かっているのですから、解答の(ii)は不要です。なんでこんなのを入れたのかわからないですね。ですから(ii)は無視します。 (i)の場合、軸ｔ=aはー１より小さいので、グラフの略図を書けそうですが、 $f(1)$ を調べると値が正なので（≧９まで言わなくていいのです。正であるということが大事）そこではグラフはｔ軸より上で、ｔ＝１は解にはなりえません。あとは $f(-1)$ の値が問題で、t=ー1でグラフがｔ軸より上にあるか下になるかが問題になりますね。特にt=ー1でy=0となったときはt=-1が解なので、対応するｘは1個だけです。$f(-1)=a+3$ なので $a+3=0$ すなわちa＝－３の時は解ｘは１個です。 $f(1)>0$ なので、 $f(-1)>0$ だったら区間ー１≦ｔ≦１ではグラフはｔ軸より上になってしまうので解ｔはありません。すなわち $f(-1)=a+3>0$ つまり－３＜a≦－２の時は解ｘもありません。 最後に $f(-1)<0$ すなわち $a<-3$ のときは$f(1)>0$ と合わせて考えればグラフは区間ー１＜ｔ＜１のなかで1回ｔ軸と交わりー１＜ｔ＜１である解ｔが1個得られるので、解ｘは2個存在します。 ここまでが(i)ですね。 次に(iii)１≦aのとき、$f(-1)=a+3>0$（＞４ではなく正であることが大事）なのでグラフはｔ軸より上にあり、あとは $f(1)=-3a+3$ の値の正負が問題になります。 $f(1)$ がちょうど０の時すなわちa＝１のときは、ｔ＝１という解を持つので、解ｘは1個です。 あとは１＜aのときですから、$f(1)=-3a+3<0$ となり、$f(-1)=a+3>0$と合わせて考えれば、グラフは区間ー１＜ｔ＜１のなかで1回ｔ軸と交わりー１＜ｔ＜１である解ｔが1個得られるので、解ｘは2個存在します。 これで大丈夫ですか？ 写真の解答をすこし詳しく書いたつもりですが、読んで行き詰るところがあったらコメント欄になにか返事を書いてください。