円に内接する証明

なぜ接弦定理を使おうという発想が出てくるのでしょうか？ わたしは赤線のところで詰まってしまいました💦 解答の一文一文の言ってくることはわかったのですが、接線を引くという考えは浮かばなかったのでどこから着想を得たらよかったのかなと悩んでいます、、 わかりにくくなってしまい、すみません🙇

百花さん、こんばんは。 たしかに、そこに接線を引けば割と楽に証明できますね。 なぜ接弦定理を思いついたのか？ それは解答者に聞かないとわからないかも。 解答者はきっと数学のベテランで、接弦定理を使う問題もたくさん経験しているのだと思います。 だから使えたのかなぁ。 でも、円の角度に関する問題に使える事柄としては円周角の定理、中心角、接弦定理、内接三角形、外接三角形、内接四角形くらいなもので、問題に対していろいろ使ってみれば、接弦定理を使うとうまくいくこともあるでしょう。この問題ではうまくいったのですね。 「どこから着想を得たか」？ま、着想ではなく、試みてみるべき定理ですからね。 さて、前にも書きましたが、って、このごろあなたには何回も書いているようですが、数学は1つの方法だけではありません。接弦定理を使わなくたって、円周角の定理と内接四角形の性質だけで楽にとけます。たぶん試みてみたのでしょうが、もうひとがんばり！ ヒントはMBとかAQとか、とにかくいろんな2点を結んでみることです。「どこから着想を得たか」と言われると困るのですが、まぁ、いろいろと線を結ぶことはだれでもしますよね。これで、∠MSA=∠MBS+∠SMB=…ってやって円周角の定理や弧AM=弧MBなんかを使えば、∠MSR=∠RPQは示せます。あるいは∠MSR=∠PQSも大丈夫です。 やってみてください。 うまくいかないようなら言ってください。説明します。 これで大丈夫ですか？