接線

この問題のf(x)のグラフとyのグラフ(接線)が接線のように思えません。なぜこれも接線と言えるのでしょうか。接線とはある曲線と触れて交わらない線なのではないのでしょうか。解説お願いいたします。

ユ ズ さん、こんばんは。 「接線のイメージ」では、たしかにそう感じますよね。私だって接線と言えば曲線の一点で接していて、その付近ではグラフは直線に対して同じ側にあるやつとイメージします。 それが変曲点でだけはイメージが崩れるのです。この問題に出てくる直線は、点Ｐで交わってはいないのです。曲線のグラフは滑らかに直線と同じ傾き（微分係数）になっていきます。ですからＰは交点ではないのです。曲線がその点の前後である直線に滑らかに近づく（傾き＝微分係数が直線の傾きに等しくなる）とき、その直線を接線というのです。 接線の定義には「接点のあたりでグラフは直線の片側にある」というのは入っていません。「接点Ｐのあたりで微分係数がある値に近づくとき、その値を傾きとしたＰを通る直線を接線という」と決めています。つまり微分係数が右極限も左極限も同じとき、接線が引けるのです。その曲線が接点を通過後に反対の領域に行ってもいいのです。 数学で言う接線は、一般的なイメージとはちょっと異なるということを納得してください。変曲点での接線も認められるよう、頭で考えましょう。 これで大丈夫ですか？ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　2025/01/07　12:00～ コメント拝見。 はい、変曲点での接線を考えると必ずそのような（一般のイメージとは異なる）図になります。 実はもっと変な接線もあって、たとえば $y=\sqrt[4]{x^2}$（$y=\sqrt{∣x∣}$）なんかはx=0での接線はｙ軸になるのですが、グラフは原点を頭にとがっているのです。もし、グラフ描画ソフトが使えるなら書いてみると面白いですよ。

こんにちは。くさぼうぼうさんの説明で十分だとは思いますが、別の視点での説明を試みます。 曲線 $C$ の点 $P$ における接線 $l$ とは、直感的には点 $P$ で曲線 $C$ に触れる直線のことですが、より厳密には点 $P$ の近くで曲線 $C$ を最も正確に近似する直線のことです。曲線を近似する直線という考え方が分かりにくい場合は、曲線 $C$ を点 $P$ の近くで拡大したときに、曲線 $C$ がどのように見えるかを想像してみてください。十分拡大すると曲線 $C$ は直線のように見え、その直線こそが接線 $l$ です。今までに扱ってきた接線が、この厳密な解釈に合うことを確かめてみてください。 このような解釈のもとでは、曲線 $C$ が接線 $l$ で分割された二つの領域の両方を通過していても、十分拡大すると曲線 $C$ と接線 $l$ の見分けが付かなくなることから、$l$ を接線と呼べることが分かります。 今回の問題であれば、くさぼうぼうさんの微分係数による接線の定義で十分ですが、曲線によっては私の解釈が必要になります。例えば、円 $x^2+y^2=1$ の点 $(1, 0)$ における接線は $x=1$ ですが、この接線は $y$ 軸に平行な直線であるため微分係数による定義では求まりません。また、曲線 $y=\sqrt[3]{x}$ の点 $(0,0)$ における接線は $x=0$ であり、この接線も微分係数による定義では求まりませんが、グラフを描くと $x>0$ にも $x<0$ にも曲線の一部が存在することが分かります。 なお、さらに厳密に接線を扱う方法はありますが、議論が複雑になるため省略します。