高校数学の確率について

わい Y (id: 2709) （2025年1月7日14:04）

問．４つのサイコロを同時に振るとき、次の確率を求めよ２つの異なる目がそれぞれ２つずつ出る確率について質問があります。解答の式に 6C2×4!/2!2!×1/6^4とあるのですが、例えば1122という４つの目を考えたとき、あらかじめ異なる６個の目の出方から異なる２個の目の出方を選んでおく、と考えれば6C2もわかるような気もします。しかし、一つ一つサイコロを振るようなイメージで考えたとき、1/6×1/6×6(通り)×1/6×1/6×5(通り)×4!/2!2!でも間違っていないような気がしてしまいます。後者の式はなぜいけないのでしょうか。よろしくお願いいたします。

回答

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年1月7日21:14）

わい Y さん、こんばんは。あなたの計算では、たとえば１１２２と２２１１を別物として数えてしまいますのでまずいと思います。実は、あなたの質問でずいぶん長い時間考えたのですが、違っていることは上のことから確かなのですが、それ以外にも違うことがありそうで、なかなか見つかりません。いずれにしても、問題に「同時に振る」とありますので、1個ずつ考えてはいけないと思いますが。ゴメン、まだ明確に回答してないですね。頭の整理ができたらまた追記します。

わい Y (id: 2709) （2025年1月7日22:21）

長い時間考えていただいてありがとうございます。まさにその「同時に振る」という制約ですが、例えば「４つのサイコロを同時に振るとき、３つのサイコロに同じ目が出て、他の１つにはその目と異なる目が出る確率」という問題であれば、一回一回サイコロを振るようなイメージでも 1/6×1/6×1/6×6×5/6×4!/3! といった計算式で答えが出ると思うんです。 (答えは5/54) これは同時に振るイメージだと(6P2×4!/3!)/6^4という式にもできますしそのため、サイコロを一回一回振るイメージでも解けるのではないか？と思ってしまいまして、、僕も今一度考えてみます。

わい Y (id: 2709) （2025年1月9日10:43）

一応は納得した考え方が出来上がったのでメモしておきます。例えば1、1、2、2というサイコロの目の出方があったとして、この1、1は6通りの中の1、1とすると、2、2はそれ以外の5通りの中の2、2 そして、4!/2!2!によって 1、1、2、2は2、2、1、1という並びになることもあり、この2、2は5通りの中の2、2としていますが、実際には6通り中の2、2と、5通りの中の1、1という場合もあります。つまり、6通りかつ5通りに対して、2通りずつ数える必要のない組み合わせが存在するので、一回一回サイコロを振るイメージで立式するのなら、 1/6×1/6×6×1/6×1/6×5×1/2×4!/2!2!=5/72 とできるのかなと思いました。しかし結局は答えからの逆算でなんとか納得させたという感じなので、同時に振るという制約がある以上、そのように考えて式を作っていったほうが素直というか、出題者の意図を汲み取って結果的に解きやすいのかもしれませんね。くさぼうぼうさんありがとうございました。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年1月9日10:51）

とんでもないです。たいしたお役にも立てず申し訳ないです。これにこりず、またどうぞ！

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