極限と係数決定の問題に関する疑問

添付した画像(1枚目)は、｢それぞれの等式が成り立つように定数a, bの値を求めなさい｣という問題の解説です。ここで赤線を引いた部分が分かりません。(1)の問題については分母が0に限りなく近づくパターンですが、(2)は∞/∞の不定形となるパターンでケースが違うように思われます。そこで必要十分条件と言われても何のことを指しているのか自分には分かりませんでした。ここの部分についてなにかご回答頂けたら幸いです。 追記 今、考えていることをより詳細に書き表してみます。 分母の極限値が0のとき、 分数式の極限値が存在する⇒分子の極限値が0になる となっていて、分子の極限値が存在することは、分数式の極限値が存在するための必要条件なので、その逆方向(分数式の極限値が存在するか)も満たすことを確認できたということでしょうか？ そうすると、∞/∞のパターンと0/0のパターンは同一視していいのでしょうか？つまり、(2)の問題の場合は 分母の極限が∞のとき、 分数式の極限値が存在する⇒分子の極限が∞になる という関係が使われているということでしょうか？ 参考書でこのことについて書かれた箇所を探しましたが、2枚目や3枚目の画像に書かれているものだけでした。

Beat Pop さん、こんにちは。 「a＝８は必要十分条件」というところですね？ ついでだから、（１）の方も話をしますが、分数式で分母が０に収束してしかも全体としては有限な極限値をもつとき、もし分子→０ではなく∞とか０以外の有限のあたいに収束したら、分数式は＋∞（またはー∞）に発散してしまうので、それ以外であることが必要です。つまり分子→０となるのが必要条件。解答ではそこまでで$\sqrt{6}a＝b$ という必要条件を得ました。でもここまででは分数式は有限な極限値を持つことまでしか保証されず、極限値が４になるためには他の条件が必要です。で、実際に極限値=４を満たす十分条件 $a=8\sqrt{6}$ を得ました。ここまでで得られた必要条件と十分条件を満たすa,bを求めたら $a=8\sqrt{6},b=48$ なので、この２数をa,bとしてさいようすれば、必要条件も十分条件も満たし、すなわちこれが必要十分条件なので自信を持って答とします。 （２）は0/0とは違うタイプの不定形です。同一視するわけにはいきません。もちろん、問題によっては∞ー∞になる式を変形していって0/0のタイプになることもあるかもしれませんが、一般的には別解法です。 この問題では∞ー∞では何もわからないので、分子の有理化というよくやる定石を試みました。やってみたら、何のことはない、この∞ー∞の問題は何の条件もなしに有限な極限値を持つじゃないですか！よって必要条件というものは必要ないです（笑）。あとはその極限値が４になるようにaの値を求めました。a＝８なら、またその時に限って極限値４を持ちますので、a＝８は必要十分条件です。 なお、あなたの書いた「となっていて、分子の極限値が存在することは」は論理的には正しいですが、必要条件としては弱すぎます。存在すればいいということはたしかに必要ですが、それは無条件で満たしています。ほしいのはもっと厳しい必要条件「分子の極限値が存在して、値は０」という必要条件を求めなくてはなりません。０になることこそ必要なんですね。 「分母の極限が∞のとき、分数式の極限値が存在する⇒分子の極限が∞になるという関係が使われているということでしょうか？」→いえ、違います。そういう関係はありませんよ。この問題ではないですが、分母→∞でも、分子→a（有限な値）なら分数式全体は極限値０を持てますし。 これで大丈夫ですか？いつものように、これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。