4変数の相加相乗平均の問題

画像の問題（１）は解けたのですが、これをどう利用すれば（２）につながるのか分かりません。a+b, c+d, をそれぞれひとかたまりとして（１）で証明した式に代入するのかと思ったのですが、うまくいきませんでした。

こんにちは。 $\textrm{(1)}$ は解けたとのことですが、等号が成り立つときを調べないと問題に答えたことにならないため注意です。 $\textrm{(2)}$ のような $\textrm{(1)}$ の変数を増やしただけの問題は、$\textrm{(1)}$ を繰り返し用いることで証明できないかを考えます。あなたが試したように $\textrm{(1)}$ の $a, \ b$ に $a+b, \ c+d$ を代入すると不等式、 $$ \sqrt{\dfrac{(a+b)+(c+d)}{2}} \geqq \dfrac{\sqrt{a+b}+\sqrt{c+d}}{2} $$ が得られます。この不等式の右辺に着目すると、$\sqrt{a+b}$ や $\sqrt{c+d}$ は $\textrm{(1)}$ の左辺に似ていることに気付きます。ここから、再度 $\textrm{(1)}$ を適用するためには、$a+b, \ c+d$ ではなく $\dfrac{a+b}{2}, \ \dfrac{c+d}{2}$ を代入すればよかったことに気付きます。 一度 $\textrm{(1)}$ の $a, \ b$ に $\dfrac{a+b}{2}, \dfrac{c+d}{2}$ を代入して考察してみてください。

ウルトラ セブン さん、こんばんは。 （２）の左辺で（１）の結果が使えるようにしていきます。「2分の」に直します。 $\sqrt{\dfrac{a+b+c+d}{4}}$ $=\sqrt{\dfrac{\dfrac{a+b+c+d}{2}}{2}}$ $=\sqrt{\dfrac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}{2}}$ $\frac{a+b}{2}$ や $\frac{c+d}{2}$ を（１）のa,bと考えれば $\geqq \dfrac{\sqrt{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}}{2}$ で、この式の$\frac{a+b}{2}$ や $\frac{c+d}{2}$ のそれぞれにまた（１）を適用すれば $\geqq \dfrac{\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}+\frac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{2}}{2}$ $=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}{4}$ 変数を増やす方向でもいいですが、まとめて変数を減らして（１）が使える形にするという方法もありです。 これで大丈夫ですか？