中2 平面図形の角度

正方形ABCDにおいて、辺AD上に点Pをとったところ、BP= DP+BCとなった。辺ADの中点をMとし、角ABM=aとするとき、角CBPの大きさをaを用いて表せ。 答えは2aなんですが、角PBMダッシュの角度をaと証明することができません。 下記を説明できません。 MQ垂直PBがなにかで説明できるのか QMダッシュ=CMダッシュと説明できるのか よろしくお願いいたします。

ゆき さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 点Ｑについての説明がないのですが、図から想像するとＡＱ＝ＡＢとなるように取った点でしょうか？ 最終的には△ＡＢＭ≡△ＱＢＭ’　を示しますよ。 この２つの三角形はすでに２辺は等しいことが分かっています。 ＡＢ＝ＱＢ，ＢＭ＝ＢＭ’　ですね。これはあなたが書いた証明の４行目からわかります。 あとはＡＭ＝ＱＭ’を示せばいいのですが、私もこれがなかなか見つかりませんでした。 では、いきます。 ∠ＱＢＭ＝∠ＡＰＢ＝∠ＰＱＤ＋∠ＰＤＱ（外角の性質より） ＝２∠ＰＤＱ　∠ＰＤＱ＝ｘとすると つまり∠ＱＢＣ＝２ｘです。 また、△ＢＣＱは2等辺三角形で、∠ＢＣＱ＝∠ＢＱＣ。これをｙとします。 すると、△ＢＣＱの内角の和は１８０°より ２ｘ＋２ｙ＝１８０° よってｘ＋ｙ＝９０° ここで、直線ＰＢに関して、∠ＰＱＤ＋∠ＤＱＣ＋∠ＣＱＢ＝１８０° つまり、ｘ＋∠ＤＱＣ＋ｙ＝１８０° ∠ＤＱＣ＝１８０°－ｘ－ｙ＝１８０°－９０°＝９０°　！！！ よって△ＤＱＣは直角三角形です！ Ｍ’は斜辺の中点だから、直角三角形の性質（？）より ＤＭ’＝ＱＭ’（＝ＣＭ’） ところでＤＭ’＝ＡＭなのでＡＭ＝ＱＭ’ これより△ＡＢＭ≡△ＱＢＭ’（３辺が等しい） よって∠ＱＢＭ’＝∠ＡＢＭ＝ａ また、∠Ｍ’ＢＣ＝ａはすでにあなたが示しています。 よって∠ＰＢＣ＝ａ＋ａ＝２ａ いや、ずいぶん考えました！やっとこんな方法を見つけました。 回りくどいかもしれませんし、もっといい解法があるのかもしれません。 中３で学ぶ三平方の定理を使うとＰはＭＤの中点であることが分かります。 ３：４：５の直角三角形がいくつかできています。 高校数学では三角関数とか使ってａの２倍であることも示せるでしょう。 中２では、こんなやり方でしょうかね。 これで大丈夫ですか？ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。