三角関数

三角関数の角度を求める手順を教えてください。 問題はコサシスセです。 私はsinとcosが同時に満たす範囲を限定したあとに、xの範囲を求めにいった（ノート斜線部）のですがバツでした。 考え方の手順を教えていただきたいです

え はる さん、こんばんは。 残念！下から３行目、$2\pi$ ではなく$\dfrac{3}{2}\pi$ です！！ これで大丈夫かな？ ============================= 追記　2025/01/17　08:40～ $0\leqq x \leqq \pi$ ですから、$0 \leqq \dfrac{7}{2}x\leqq \dfrac{7}{2}\pi$ です。この範囲内でコサインの値が正であるのは角が第１，４象限の角の時です。まずはサインのことは忘れてコサインだけを考えていますよ。 $0 \leqq \dfrac{7}{2}x\leqq \dfrac{7}{2}\pi$ の範囲で第１，４象限の角は $0\leqq \dfrac{7}{2}x\leqq \dfrac{\pi}{2},\dfrac{3}{2}\pi\leqq \dfrac{7}{2}x\leqq \dfrac{5}{2}\pi$ よって $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{7},\dfrac{3}{7}\pi \leqq x\leqq \dfrac{5}{7}\pi$ …①となりました。ここまではコサインが正である範囲です。 次にサインが正になる場合を調べてみます。その時はコサインで考えた単位円上の渦巻きとは違う図を書かなくてはなりません。同じ図でやったのも間違いの元でした。$0\leqq x \leqq \pi$ ですから、$0 \leqq \dfrac{1}{2}x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ です。この時の単位円の図は０から始まってπ/2までの1/4円のうずまき（？）です。この範囲では $\sin\dfrac{1}{2}x\geqq 0$ となるのは $0<\dfrac{1}{2}x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ です。つまり $0<x\leqq\pi$ …②となります。 ①かつ②の範囲が答です。 $\dfrac{7}{2}\pi$ と $\dfrac{1}{2}x$ の変域を同じ図で考えたのがいけなかったと思いますよ。 綾野さんの追記と一緒にお読みください。 これで大丈夫ですか？

こんにちは。 $\sin$ 関数に関する条件が $\sin \dfrac{7}{2}x > 0$ ではなく $\sin \dfrac{1}{2}x > 0$ であることに注意です。そのため、あなたが描いた左下の図のように $\dfrac{7}{2}x$ を第一象限の角と限定することができません。$0 < x < \pi$ において $\sin \dfrac{1}{2}x$ は常に正ですので、結局のところ条件 $\cos \dfrac{7}{2}x > 0$ のみを考えればよいです。 $\textbf{\textsf{（追記: 2025年1月17日6:39）}}$ 求めるべきものは $0<x<\pi$ において、 条件 $\textrm{(i)}$: $\cos \dfrac{7}{2}x > 0$ 条件 $\textrm{(ii)}$: $\sin \dfrac{1}{2}x > 0$ を同時に満たす $x$ の範囲です。これらの条件を同時に満たす範囲は、それぞれの条件を満たす範囲を求め、その共通範囲を計算することで得られます。 まず、条件 $\textrm{(i)}$ を満たす範囲を考えます。求めるべきものは $0<x<\pi$ において $\cos \dfrac{7}{2}x > 0$ を満たす $x$ の範囲です。あなたの描いた左下の図において $\sin \dfrac{1}{2}x > 0$ という条件をなかったことにして考えればよいです。つまり第一象限だけでなく第四象限も含みます。範囲を求めると $0<x<\dfrac{1}{7}\pi, \ \dfrac{3}{7}<x<\dfrac{5}{7}\pi$ が得られます。 次に、条件 $\textrm{(ii)}$ を満たす範囲を考えます。$0<x<\pi$ より $0<\dfrac{1}{2}x<\dfrac{1}{2}\pi$ であるため $\dfrac{1}{2}x$ は第一象限の角です。第一象限の角の $\sin$ の値は正ですので $\sin \dfrac{1}{2}x>0$ です。つまり、$0<x<\pi$ において条件 $\textrm{(ii)}$ は常に満たされます。 結果をまとめると、 条件 $\textrm{(i)}$ を満たす $x$ の範囲は $0<x<\dfrac{1}{7}\pi, \ \dfrac{3}{7}<x<\dfrac{5}{7}\pi$ 条件 $\textrm{(ii)}$ を満たす $x$ の範囲は $0<x<\pi$ (常に満たされる) です。これらの共通範囲を求めて、条件 $\textrm{(i), (ii)}$ を同時に満たす $x$ の範囲は $0<x<\dfrac{1}{7}\pi, \ \dfrac{3}{7}<x<\dfrac{5}{7}\pi$ です。