漸化式

画像の問題で、この問題では、指示としてbnをどのように定めるかの指示があるので解くことが出来ますが、指示がなしで解かせる場合って存在するのでしょうか。また、あるとして仮にbn＝1/(an−5)とかっておいて計算してみるとうまくいかないんですが、なんでこの問題作成者は、bnをこのように定めればうまく解けることを知っていたのか何か背景的なものがあれば教えてほしいです。とんちんかんなこと言ってる気がしますがよろしくお願いします。

こんにちは。 東京工業大学では2015年に同様の問題が誘導なしで出題されたことがありますが、多くは誘導付きで出題されます。誘導の有無に関わらず、背景を考察することは、深い理解に繋がりますので、「とんちんかん」な疑問ではありません。 今回の例題では、特性方程式 $x=\dfrac{x-9}{x-5}$ の解を $a_{n+1} = \dfrac{a_n-9}{a_n-5}$ の両辺から引くことで、より簡単な漸化式問題に帰着させるという手法が使われています。$\alpha$ を解とすると、 $$ a_{n+1}-\alpha = \dfrac{a_n-9}{a_n-5} - \dfrac{\alpha-9}{\alpha-5} $$ です。この式の右辺を通分し、分母・分子をともに $a_n-\alpha$ の一次式として見ると、分子の定数項は $0$ になります。つまり $A, \ B, \ C$ を適当な定数として、 $$ a_{n+1}-\alpha = \dfrac{A(a_n-\alpha)}{B(a_n-\alpha)+C} $$ と変形できます。ここで $c_n = a_n-\alpha$ とおくと、 $$ c_{n+1} = \dfrac{Ac_n}{Bc_n+C} $$ は両辺の逆数をとることで一般項を導出できる形です。 これらの考察より、最初から $\dfrac{1}{c_n} = \dfrac{1}{a_n-\alpha}$ という数列を考えても、一般項を導出できることが分かります。あとは特性方程式 $x=\dfrac{x-9}{x-5}$ を解けば $\alpha=3$ を確認できます。