各点収束について

写真の関数列についてですが、n→∞のとき各点でgn(x)→0と収束するとのことなのですが、確かに1行目と3行目の式については0になりますが、2行目の式についてはn→∞のときx≒0にりますが、2nの項が無限大に発散してしまいます。なぜ、gn(x)→0と言えるのでしょうか？

【問題のイメージ】 底辺の長さ2/n、高さnの二等辺三角形が、nが大きくなると、底辺が短くなり、高さが高くなる。 そんな状況になります。底辺が短くなっていくことに注意しましょう。 【出題者の疑問】 「この高さの部分はどうなるか？」という疑問かと思います。結論から言うと、なくなります。 x=0のとき、gn(x)=0は納得できるけど、xが限りなく0に近いところに、この高さがあるのではないか…と考えているのかと思います。 しかし、nを十分に大きくすると、xが限りなく0に近いところもgn(x)=0になってしまいます。そのことを厳密に説明しましょう。 t>0で、tを限りなく小さい数とし、固定する。　※あなたのタイトルにもある各点での収束を考えるわけです。 n∈Nを十分に大きくとれば、t>2/nを満たすnをとることができる。　※このようなnが存在することは、アルキメデスの公理から保証される。 すると定義式から、gn(t)=0. これは、nを十分に大きくすると、xが限りなく0に近いところもgn(x)=0になることを表している。