線形代数

練習問題なのですが、解答がなくて困っています。もし分かる方がいればよろしくお願いします。

※定義の仕方や解釈が授業者と異なる部分は、修正してください。 【大問1】 (1)与えられた表現行列が4×4なので、基底が[1,x,x^2,x^3]となり、n=m=3. (2)2-x^2は、[2 0 -1 0]のベクトルに対応する。 表現行列Aとの積を計算し、[3 2 2 10]となるので、F(2-x^2)=3+2x+2x^2+10x^3. (3)表現行列Aの階数を計算すると、rank A=2.　∴rank f=2.　※階数計算は自力でやってください。 連立方程式Ax=0の解を、媒介変数表示として表せば、s[-1 -1 1 0]+t[-1 1 0 1], s,t∈R. ∴Ker fの基底は、[-1 -1 1 0], [-1 1 0 1]. dim Ker f=2. (4)連立方程式A[x y z w]=[0 1 a 0]が解をもつためには、 2x+3y+z+3w=0,x+y+2w=1,x+y+2w=a,4x+2y-2z+10w=0.　∴a=1. 【大問2】 (1)det(λI-A)=(λ+2)(λ-1)^2.　※この行列式の計算は自力でやってください。 ∴ΛA={-2,1}, m_-2=1, m_1=2. 固有空間は、各λの連立方程式(λI-A)x=0を考えて、　※この計算は自力でやってください。 V_-2={s[-1 1 -1]|s∈R}, V_1={s[-1 1 0]+t[-1 0 1]|s,t∈R}. 各λの固有空間の次元と重複度から、対角化可能である。 その変換行列は、P=[-1 1 -1,-1 1 -0,-1 0 1]で表され、P^(-1)AP=[-2 0 0,0 1 0,0 0 1]. (2)det(λI-A)=λ(λ-1)^3.　※この行列式の計算は自力でやってください。 ∴ΛA={0,1}, m_0=1, m_1=3. 固有空間は、各λの連立方程式(λI-A)x=0を考えて、　※この計算は自力でやってください。 V_0={s[1 1 0 -1]+t[0 0 1 -1]|s,t∈R}, V_1={s[1 1 0 0]+t[0 0 -1 1]|s,t∈R}. 各λの固有空間の次元と重複度から、対角化可能でない。 【大問3】 (1)w1=[1 1 0 1], w2=[1 0 1 -1], w3=[-3 3 3 0].　※計算は自力でやってください。 (2)与えられたvをw1,w2,w3に対し、グラムシュミットの直交化法で計算すると、 w=[0 4/3 -4/3 -4/3].　d=|w|=4√3/3.　※この計算は自力でやってください。 ※正射影が何を要求されているのか不明だったので、とりあえず射影行列を書いておきます。 wを正規化すると、3/4√3[0 4/3 -4/3 -4/3]. 射影行列P=3/16[0 0 0 0,0 16/9 -16/9 -16/9,0 -16/9 16/9 16/9,0 -16/9 16/9 16/9]. 【大問4】 s>tと仮定する。w1,…,wtにより、Vが生成されているので、Vの元であるv1,…,vsは、 v1=c11w1+c12w2+…+c1twt,…,vs=cs1w1+cs2w2+…+cstwtと一次結合で表される。 x1v1+…+xsvs=0とすると、 x1(c11w1+c12w2+…+c1twt)+…+xs(cs1w1+cs2w2+…+cstwt)=0. s>tより、この連立方程式は、(x1,…,xs)=0以外の解をもつ。 これは、v1,…,vsが一次独立であることに反する。 故に、s≦t.