広義積分の近似について

①写真の(6-a)の赤線部についてですが、確かにx→∞のときは分母において2x^2+1はx^4よりはるかに小さいため、x/x^4とほぼ同じ振る舞いをすることはわかるのですが、 なぜ[0,∞)の積分を考えたときもx/x^4と近似させてよいのでしょうか？積分範囲は[0,∞)とxの値が小さいときも考えなければならないので、近似できないと思いました。例えば積分範囲に含まれているx=10などのときは、2x^2+1が分母にあるとないとでは、f(x)の値及び積分後の値が大きく変わってしまうと思うのですが... ②なぜ、x^(-3)dx[0,∞)=1/2となるのでしょうか？ ③(6-b)についても①と同じく、近似していい理由がわからないです。 以上の3点について解説お願いします。

①について 積分の値を近似しているわけではありません。広義積分では、収束するか発散するか、まずは確認が必要です。赤線部の議論は、それについて書かれています。(6-a)については、「収束の判定が必要な∞を考えると、分母の関数が∞に近づくとき、次数のもっとも高いx^4に近く、分子はxを約分すれば、被積分関数はx^-3に近い。これは、∞で0に収束する。故に、被積分関数も収束する。」という意味です。 ②について 積分の値は、普通に計算して求めます。分母の関数は、因数分解ができて、x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2だから、次の微分[-1/2(x^2+1)]'=x/(x^2+1)^2に注意して積分すると、 (求める積分)=[-1/2(x^2+1)]0,∞=0-(-1/2)=1/2 ③について ①の回答と同様に、積分の値を近似しているわけではありません。「収束の判定が必要な∞を考えると、被積分関数は1/(xlogx)に近い。これは、∞で発散する。故に、被積分関数も発散する。」という意味です。